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II. Teorica delle permutazioni ordinarie. 



i. I cangiamenti di sito che si possono fare di date cose in dati posti, di- 

 consi permutazioni. 



2. Il problema generale che si può proporre intorno le permutazioni è il 

 seguente : « Dato il numero delle cose ed il numero dei posti, e data la leg- 

 » gè di permutazione , cioè il modo col quale le date cose debbonsi collocare 

 » nei dati posti successivamente, determinare il numero totale delle permuta - 

 » zioni. » 



3. Prenderemo pertanto a supporre che, dato un numero di cose e di po- 

 sti, o tutte le cose si debbano impiegare, od occupare tutti i posti; ritenen- 

 do in primo luogo, che ciascheduna cosa possa collocarsi in ciaschedun posto; 

 in secondo luogo, che alcune cose debbano collocarsi in un posto determinato 

 soltanto. 



Nel primo caso le cose date possono essere fra loro differenti, o fra que- 

 ste esservene d'identiche: nell'uno e nell'altro di questi casi il numero to- 

 tale delle cose può essere maggiore, eguale o minore del numero dei posti. 

 Finalmente quando il numero delle cose è maggiore del numero dei posti, e 

 fra queste ve ne sieno d'identiche, conviene considerare il caso speciale, che 

 il numero di ogni aggregato sia maggiore od eguale al numero dei posti. 



4- Istituita questa analisi sopra i differenti casi, risolveremo le enunciate 

 questioni, premettendo a tale oggetto i seguenti Lemmi. 



Lemma I. Essendo il numero delle cose ed il numero dei posti eguale 

 ad nij se queste si separino in due aggregati, l'uno di m — q, l'altro di q, 

 e sia P il numero totale delle permutazioni, R quello delle permutazioni di 

 m — q cose negli m posti, e Q quelle delle altre q cose in q posti, sarà 

 P = RQ. 



Infatti sieno le m cose disposte negli m posti; ritenendo ferme le m — q 

 nei loro posti, e permutando comunque le q rimanenti nei loro q posti, avre- 

 mo Q permutazioni. Attribuendo alle m — q cose una novella collocazione, 

 si operi similmente rapporto alle q> e si avranno Q novelle permutazioni. 

 Operando per simil guisa fino a che le m — q cose abbiano subito tutte le 

 possibili permutazioni negli m posti, si saranno esaurite tutte le possibili per- 

 mutazioni delle m cose negli m posti, nessuna potendo essere omessa, e nes- 

 suna ripetuta. Avremo però P — RQ. 



