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5. Corollario. Essendo le q cose identiche, sarà Q= i, e P' = Rj rappre- 

 sentando per P' il numero delle permutazioni in questo caso. Dunque se da 

 ni cose se ne tolgano q d'identiche, il numero delle permutazioni non cangia. 



P 



Avremo pure P = P' Qj ossia P'= — , cioè il numero delle permu- 

 tazioni di ni cose, considerandone q tutte identiche, si ottiene dividendo il 



numero totale delle permutazioni delle ni cose pel numero delle permutazio- 

 ni delle q cose in q posti. 



6. Lemma II. Sieuo m cose differenti da permutarsi in in posti, e di que- 

 sti posti se ne prendano di mira q, e sia Q il numero delle permutazioni 

 di q cose in questi posti, R il numero delle permutazioni delle m cose nei 

 rimanenti , P il numero totale delle permutazioni ; avremo 



P = RQ. 

 Infatti si distribuiscano le m cose negli ni posti, e ritenendo ferme ne- 

 gli ni — q posti le rispettive cose, si permutino le q nei q posti, e si avran- 

 no Q permutazioni. Attribuendo alle ni — q cose una novella permutazione, 

 si operi per simil guisa , e cosi successivamente fino a che le ni cose abbiano 

 subito tutte le permutazioni negli ni — q posti ; il numero delle permutazioni 

 sarà R Q. Siccome poi, così procedendo, si saranno esaurite tutte le possibili 

 differenti permutazioni delle m cose negli m posti, nessuna potendo essere 

 esclusa o ripetuta, avremo 



P = RQ. 



7. Corollario. Se nei q posti non si fa permutazione, e sia P' il numero 

 delle permutazioni corrispondenti a tale ipotesi, sarà Q= 1, e P' = R. Dun- 

 que il permutare m cose in m posti, fra questi essendovene q, nei quali non 



si fanno permutazioni, è lo stesso che permutare le m cose in m—q posti. 



P 



Si ricava poi />' = — —; cioè il numero delle permutazioni, che si ottengono 



in tale supposizione , è uguale al numero delle permutazioni delle ni cose 

 negli ni posti, diviso pel numero delle permutazioni di q cose in q posti. 



8. Premessi questi due Lemmi , supponiamo che sieno date ni cose diffe- 

 renti da permutare in un dato numero n di posti, e si domandi il numero 

 delle permutazioni. 



Essendo ni = iij rappresentiamo il numero delle permutazioni per P m . 

 Sia qr=. m — 1 (Lem. 1.), sarà ni — q — 1, Q= P m _, J R = nij e però 



P,„= mPm—L 





