n3 



Quindi avremo P m = m (ire — i) (ira — 2) 3. ai*,, ma P,=i; dunque 



P m == m (ire — 1) (ire — 2) 3. 2. 1. 



9. Essendo ire < rc, rappresentiamo con P m ,n il numero delle permutazioni. 

 Se ira = r — r, aggiungansi alle m cose 7' identiche, onde ne risulti un nu- 

 mero re. Fatto ej = r, sarà P = P„, P' == P/«, n, @ => P^ 



Pn n (n — 1) (n — 2) .... (n — /re-f- 1) (re — m) (re — ra — 1) 3. 2. 1 



e Pn, re = -p— = p 



Jrr rn — ire 



= re (re — 1) (re — 2) (re — ire -\- 1). 



io. Essendo ire > n, rappresentiamo pure con P m> n il numero delle per- 

 mutazioni. Se ih e=s re + r, si aggiungano agli re r posti, in essi non fa- 

 cendosi permutazione. Fatto q =■= r, sarà Q = P r , R — Pm,n,P = Pm, 



Pm, re = '-£— ■"" -E-^ = TC ('»— r ) ( w — 2 ) •• •• ( w — "+ >)• 



re r» — re 



11. Supponiamo adesso clie fra le ire cose vi sieno gli aggregati di bjCjd... 



cose identiche, e sia ire = re., od ire •< re. 



/» 



Nel «rimo caso il numero delle permutazioni sarà — — - — , essendo 



Pb- Pc- Pd'-- 



P il numero delle permutazioni delle ira cose, considerate tutte fra loro dif- 

 ferenti (5), e però sarà P= P m ; onde il numero delle differenti permuta- 

 zioni sarà 



Pm 



PbPcPd-- 



Nel secondo caso sia ire = re — r, e si aggiungano alle /re cose r d' iden* 

 tiche e differenti da tutte le altre; il numero delle permutazioni sarà 



Pn Pn Pn,m , . 



PrPbPcPd ■■■ ^ Pn-m- Pb- Pc- Pd" ~ Pb- Pc- Pd- (9 ' ' 



Quindi o sia ira = re, od 1» ■< n, per determinare il numero delle permutazio- 

 ni differenti essendovi gli aggregati di bjCjd cose identiche, si determi- 

 nerà il numero delle permutazioni, come se le ire cose fossero tutte differenti, 



e si dividerà pel prodotto dei numeri delle permutazioni di b,Cjd cose 



differenti in b,c,d .. .. posti. 



12. Sia 1» > iij e suppongasi che ciaschedun aggregato contenga un nu- 

 mero di cose od eguale o maggiore del numero dei posti , e sieno p aggregati. 

 Si osservi in primo luogo che il numero delle permutazioni non cangia, 

 se gli aggregati che ne contengono più di re si riducono a contenerne re sol- 

 tanto. Infatti il massimo numero delle cose di un aggregato che possa im- 

 piegarsi è = re. 



i5 



