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Ciò posto, sia il numero delle permutazioni rappresentato da Q p> „. Col- 

 locando nel primo posto una cosa del primo aggregalo, rimarranno p aggre- 

 gati da permutarsi in n — i posti; onde avremo Q p> „ t permutazioni. Col- 

 locando nel primo posto una cosa del secondo aggregalo, e permutando le ri- 

 manenti cose nei rimanenti posti, avremo altre Qp,n i permutazioni. Cosi 



operando per ciaschedun aggregato, avremo p Qp, n i permutazioni. Per tal 



modo si saranno esaurite tutte le possibili differenti permutazioni delle m cose 

 negli n posti, nessuna potendo essere esclusa o ripetuta; dunque 



Qp," = PQp, »-i, 



e però Q p , „ = p^ Q p , „_, = p3 Q p> „_ 3 = pn— > Q p> l; 



ma Q p! i = p sarà adunque Q p> n = p n - 



i3. Finalmente se un qualche aggregato contiene un numero di cose mi- 

 nore del numero dei posti , si determinerà il numero delle permutazioni nel 

 modo seguente. Quegli aggregati, che contengono un numero di cose maggiore 

 del numero dei posti, si riducano a contenerne tante quanti i posti. Sieno poi 

 Ax,Ai,-d?> •••• questi aggregati. Si prenda di mira il primo, e si osservi che 

 di questo o non s'impiega alcuna cosa, od una, o due, o tre ec, o tulle. 

 Per ciascheduno di questi casi si dovrà ripetere simile analisi con gli aggregati, 

 e così ci ridurremo ai casi di già contemplati. Determinate tutte le differenti 

 unioni delle m cose ad ri ad n, per ciascheduna si determinerà il numero 

 delle differenti permutazioni, e la loro somma determinerà il numero totale 

 delle differenti permutazioni delle m cose negli n posti. 



i4- Prendiamo adesso a risolvere l'altro problema. Dati p posti e gli aggre- 

 gati di a lt a 2 , ..-(tp cose, e nel primo posto non potendosi collocare che una 

 cosa qualunque del primo aggregato, nel secondo una cosa qualunque del se- 

 condo ec. , si domanda il numero totale delle differenti permutazioni. 



Sia questo numero rappresentato da Pu\, a^- a.n. Si collochi nel primo 

 posto una cosa fra le a } e le rimanenti si permutino nei rimanenti posti; avre- 

 mo P a ?....aq permutazioni. Collocando nel primo posto un'altra cosa fra le a, 

 avremo altre Pai... aq permutazioni. Così procedendo fino a che nel primo 

 posto si sieno successivamente collocate tutte le cose del primo aggregalo, avre- 

 mo un numero di permutazioni rappresentato da a t . Pa 9 _- a tf . Quindi sarà 



Pai,ai....aq = «i- Pai.... aq, e pelò Sarà 

 P<ll,al... aq ■= «i. «1. «3 «q 



i 5. Se ciaschedun aggregato comprende le p cose a, !),€ . . ., /., e sia y = Kj 

 avremo Q p> n = p"_, come sopra. 



