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III. Delle funzioni simmetriche. 



i. Quelle funzioni che rimangono le stesse, comunque si permutino le quan- 

 tità che le compongono, tliconsi funzioni invariahili o simmetriche di quelle 

 quantità. 



2. Fra tutte le infinite funzioni simmetriche che si possono immaginare, 

 prenderemo di mira una specie particolare, esponendo la generazione, l'algo- 

 ritmo e le proprietà. 



3. Venendo in primo luogo alla generazione, date le k quantità cijbjC . . . t, 

 la funzione a r + b r + c r . . . . V sarà simmetrica , e la rappresenteremo per 

 Si r ). Combinandosi le k quantità a due a due per prodotto, ed alle due quan- 

 tità ch'entrano in ciaschedun termine imponendo gli esponenti m, tij e per- 

 mutandosi sopra di esse, la somma di tutti i termini che vengono per tal modo 

 a prodursi, sarà una funzione simmetrica delle k quantità, e si rappresenterà 

 per Si'"' "). 



Combinando le k quantità a tre a tre per prodotto, ed imponendo sopra 

 le quantità ch'entrano in ciaschedun prodotto gli esponenti m, tt, p 3 e per- 

 mutandoli sopra di esse in tulli i modi possibili, la somma dei termini che 

 ne risultano sarà una funzione simmetrica delle k quantità che si rappresen- 

 terà per S\ m > "> P). 



4- La funzione Si 1 ') dicesi ad indice semplice, ed S[ m > n ), si m ' n 'P) diconsi 

 rispettivamente ad indice doppio e triplo. Quindi si vede come si formi e 

 rappresenti una funzione ad indice quadruplo o quintuplo, ec. 



5. Se alcuni indici sono identici, si farà uso di altri simboli. Cosi in luogo 



della funzione Si 1 ' 1 ! ) simmetrica d'indici p } essendo ciascheduno eguale 



alla unità, si sostituirà Sipì; e scriveremo generalmente S{p>R> r •••■) in luogo 



di si 1 ' «*■■•• 7> r -- )' essendovi l'unità un numero p di volte. Quando poi sono 

 identici più indici letterali, stabiliremo di scrivere quell'indice una sola volta, 

 ponendo a sinistra ed in alto il numero delle volte che si dovrebbe scrivere 



di seguito. Così S'^'"' "' si sostituirà ad Si m > m > "> "> "\ 



C. rlapprcsenteremo poi per §• . Si'> l > n >P><l — ) ,l la somma delle funzioni 

 simmetriche che nascono dall' aggiugnere successivamente a ciascheduno degli 

 indici m, n, p } q ... la quantità h. Così sarà § • S( m > ") h = S ('" 4" >'• n ) +• 



Si"', « + A), 



