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7. Si osservi che se nelle funzioni simmetriche gì' indici divengono iden- 

 tici , alcuni termini riescono pure identici ; e volendo tener conto di tutti i 

 termini, rappresenteremo la funzione simmetrica col solito simbolo: volendo 

 poi ritenere soltanto i termini differenti , applicheremo all'i* un apice al di 

 sotto. 



Quindi avremo per la teorica delle permutazioni 



S( h m ,S n ....) 



S ^m,S n ,....) ^ — 



• "^ Ph.Pg...' 



8. Ciò premesso, dimostreremo il seguente Teorema . Le funzioni simme- 

 triche ad indice multiplo si ponno far dipendere da funzioni simmetriche ad 

 indice semplice. 



Per dimostrare questa verità faremo vedere che una funzione simmetrica 

 ad r + 1 indici si può far dipendere da funzioni simmetriche ad r indici e 

 ad indice semplice. A tale oggetto osserveremo: i.° che la funzione simme- 

 trica S">i' "a- ■■"»•) s i cangia nella S [n i + ?'"*■■"'■)> sostituendo ad n,, n x + p> 

 cioè moltiplicando 



per (F i termini contenenti Va »' 



V il £"' > 



ee.; 

 a. la funzione simmetrica S( n , t n 2 •■■■ n r ) si cangia nella S{ n lt *i •■■■ n r,P), 

 moltiplicando i termini non contenenti Va per aP , 



il è . . . . bP , 

 e e. 



Ciò posto, si moltiplichi la funzione S {n ',"* •'"■ V per S W > cioè P er aP + 

 bP + cP . . . . tP, ed avremo 



(*» "a - n r) W n i+P "a+P "3+P "r+P P 



S . S =a + a + a + a + a .... 



n i+P n i+P "3+P "r+P P 



b .... + b .... + b + b .... + b .... 



«,+/» n 2 +P "5+P n r +P P 



t .... + t .... + t + t .... + t ..., 



»,+/» t . . . n p 



ritenendo chea ... tenga luogo del prodotto de' termini contenenti la pera , 



n 2 + P « 2 p 



a .., a •••a , 



ec. , 



