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petente, l'equazione sussisterà sempre; ma se i valori, qualunque sia la for- 

 ma che loro dare si voglia , non saranno identici agi' indicati , cesserà la 

 proposta di essere eguale a zero. Si ricorse quindi al semplice artifizio di 

 sostituire alla x due arbitrarie, la cui somma eguagli l'ignota, per cui, se era 

 diversa la forma , identico ne fosse il valore ; sempre per altro ritenendo che 

 la somma p + q di quelle due arbitrarie eguagliar dovesse una qualunque 

 delle tre radici, altrimenti l'equazione proposta avrebbe cessato di più sus- 

 sistere. È facile rilevare in che possa differire, in che combinare la frase 

 p + q, e l'altra x" + x"\ perchè è nota la definizione di ambedue queste 

 espressioni. Fatto quindi x=p-\-q, si ottenne una trasformata che, presen- 

 tandosi sotto diverse espressioni, si credeva fosse per conservare sotto qualun- 

 que rapporto l'identità colla primitiva. Da questa supposizione la trasformata 

 che ne risulta si è, com'è ben noto, 



p 5 + q 5 — n + (3pq — m) (p + q)=o, 

 in cui m è preceduta sempre da un segno contrario a quello di 3pq. Si 

 determinò p in modo che sia 3 p q — m = o. A ciò sembrava che nulla si 



opponesse, mentre p essendo un'arbitraria, ad essa si poteva attribuire il va- 

 lore di — — , ed essere quindi p^-^-q 3 — « = o,e perciò q° — n q* -) = o; 



anzi fatto q$ =Vj si ottenne la trasformala p 2 — nv -\ ==0 ; equazion 



di secondo grado, ed oggetto della ricerca. 



' 3.° Così si è sempre progredito per rendere ragionevoli le successive ope- 

 razioni che conducono alla soluzione del problema. Ma non cadde mai in 

 dubbio di esaminare se p o q effettivamente assumer potessero il valore in- 

 dicato, e se la prima relazione di eguaglianza posta tra la x e le arbitrarie, 

 cioè posta tra questa ed una qualunque delle tre radici, contrasti punto alla 

 seconda relazione stabilita di 3pq=m. Essendo/) e q dunque prese in som- 

 ma eguali ad x, egli è certo che ne l'ima uè l'altra possono eccedere i li- 

 miti di x e zero, e tra questi limiti il loro rispettivo valore deve compen- 

 sarsi in guisa, che quanto più una cresce, l'altra scemi. Se questa considera- 

 zione è giusta, come lo è realmente stando all'ipotesi, ya non potrà mai giun- 

 gere al valore di - — , ovvero q al valore di ^ — ; quindi è assurda l'equazione 



3p q — 7w = o, equazione che solo potrà aver luogo quando sia p = q, non 



mai in altra circostanza. Eccone una facile dimostrazione. 



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