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4-° Se un tutto dividasi in due parli eguali, in questo caso il prodotto 

 delle due parti è un massimo, e diventa poi tanto minore, quanto cresce la 

 differenza tra loro. Supponiamo che sia a=bj sarà a b un massimo; cioè se 

 a = r_, b = r, in tal caso è ab = r' 1 : ma se a > b„ si ha allora a = r + *> 

 e quindi b = r — s; perciò ab = 7 ,a — s 1 , vale a dire il prodotto fra a e b 

 sempre minore, quanto è maggiore la differenza fra i due fattori: ma nel caso 



1 • '/ , a + h 2 /« + & V • 1 

 che sia ab—r j per esser r = , ossia r == [ 1 , si ha pure in 



questa circostanza a b = ( ) uguale al quadrato della semi-somma , e per- 

 ciò se a > b, o viceversa, sarà anche a b < ( I . Ora essendo oc una 



delle radici della proposta, e nel caso nostro quella che eguaglia le altre due, 

 cioè la massima, sarà anche x" + x" =p + q; mentre la somma di p + q 

 essendosi sostituita nell'equazione, essa pure non poteva essere che un valore 

 identico di una delle tre radici. Ritenendo che sia m = — [x ' 2 -f- x *-\-x x'"), 

 è facile dimostrare ciò che fu proposto, cioè essere impossibile l'eguaglianza 

 fra il triplo prodotto di p q, ed il coefficiente del terzo termine ni . Diffatti 

 _m_ /x"*+x'"*4-x"x'"\ _ n(i-"+x"') 1 —bx"x'") \ 



/3 (*"+*'")» + (*" — a;"')» \ \ fx'+x"'\ i(x"—x'"-V>[ 



sostituendo ad x" -\-x" il suo valore corrispondente di p~\-q, si ha 



dunque — - eguaglia il quadrato della semi-somma ( 1 , più un terzo del 



quadrato della semi-differenza tra le radici; ma pq quando è un massimo, 

 abbiamo dimostrato che è uguale a [ ) ; perciò è impossibile che esso 



sia eguale ad-^-, perchè altrimenti avrebbe un valor maggiore di ogni mas- 

 simo possibile, ossia dovrebbe essere simultaneamente eguale a due valori di- 



versi. Dal che si conchiude, che la trasformata v 1 — nv + — =0 è assur- 



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da, ovvero che non si può abbassar di un grado la proposta per mezzo di 

 quella relazione stabilita fra i coefficienti e le radici, senza introdurvi risul- 

 tati contradditorii . 



