i«7 

 5.° Ma l'esposta dimostrazione parte dal principio, che tanto p che q sieno 

 due arbitrarie bensì, ma di tal valore che ciascheduna non ecceda i limiti di 

 x e zero: alla qual condizione si è aggiunta l'altra, che x' sia la radice mas- 

 sima della data equazione. Per giustificare questa seconda supposizione basta 

 prenderla in esame indipendentemente dall'altra, ed allora facilmente restere- 

 mo convinti che una tale ipotesi non iscema punto il rigore della dimostra- 

 zione ; poiché se si assuma in luogo della massima x una delle radici mi- 

 nori x"j ovvero x"\ e ad essa si faccia eguale p + q, questo valore decre- 

 scerà tanto più, quanto è minore la radice assunta, e perciò diminuirassi an- 

 che il valore rispettivo di ciascuna arbitraria, e quindi diminuirà il prodotto 

 pq; perciò tanto meno eguaglierà esso il terzo di m, il qual m resta pur 

 l' identico sì nella supposizione di x = p + q, che nell' altra di x' '_, ossia 

 x" = p -f- q. Abbiamo dunque basato il calcolo sopra i dati più generali. Ri- 

 guardo poi all'altra condizione, che né p ne q sia maggiore di x, né minore 

 di zero, possono occorrere tre casi; e dietro l'equazione di condizione x' = 

 P "f" ( h 1 uest ' tre cas ' s ' esprimeranno nel modo seguente: i.° x =p + q, 

 quando p e q sono tra i limiti di x' e zero; 2.° x' =p -(- o, quando una 

 qualunque delle arbitrarie sarà eguale alla radice, per cui l'altra sarà eguale 

 a zero; 3.° x =p — q, quando o l'una o l'altra delle arbitrarie sarà mag- 

 giore della radice massima. Così non cadrà dubbio che la x' spezzata nelle 

 sue quantità arbitrarie non venga considerata nel modo più esteso e generale. 

 Il primo di questi tre casi l'abbiamo ora appunto dimostrato impossibile; è 

 inutile di prender in esame il secondo, come quello che non introduce al- 

 cuna modificazione nelle trasformate, né in forma nò in valore, non sostituen- 

 dovi funzione alcuna diversa dalla prima ; resta perciò ad analizzare il terzo 

 caso. Siccome la dimostrazione seguente inelude sì '1 caso primo che il terzo, 

 così non lascierò d'indicarli ambidue, per cui resterà anche per una secon- 

 da via nuovamente dimostrata la vera ragione, per cui la formula cardanica 

 tragga agli immaginarli. 



6.° Nella data equazione x* — nix — rc = o, in luogo di x si ponga pri- 

 ma p + q, ed avremo la nota trasformata, da cui si ricava l'equazione parziale 



3 p q = m, ossia p q = -^-, ovvero l^p q =■ — ; ed essendo x 2 = [x" + x ")' 

 = (p-\-q J ) ì , avremo 



(p + qY — 4 p q =>X'* + x"' 3 + 2 x" x'" — ^ 

 3x"* + 3x'">-\-6x ,, x'"— 4*" a — 4*'" 2 — 4*"*"' 



