- J ; quindi p — q = (x" — x") |^— * 



eguale ad una quantità necessariamente immaginaria. Si ponga ora p — q in 

 luogo di Xj valore appunto dato ad essa nel terzo caso; questa seconda sostitu- 

 zione ci dà la trasformata seguente:/} 3 — q^ — n — (3 p q +■ m) (p — q) = o, 

 in cui 3pq è dello stesso segno di /Wj quindi pq — — -~— , ossia t\ p q 



F= 5-; ma per essere/» — q = x sarà (p — q)'essx , e perciò somman- 

 do queste due equazioni avremo (p — q)* + ^pq = x' ì »- , dalla quale 



si ricava p -\-q = (x" — x'") i/UTT cioè uguale ad una quantità imma- 



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 ginaria, ed alla stessa a cui abbiamo trovato uguale p — q. Dunque sì la 



somma die la differenza di queste due quantità arbitrarie riesce immaginaria ; 

 ed inoltre alla fine del calcolo, com'era naturale, risultano fra loro eguali. Si 

 può quindi conchiudere, che niuna delle radici della data equazione si può 

 eguagliare ne in funzione di somma, né in funzione di differenza a quelle 

 due quantità, che poi in prodotto si vogliono eguali al terzo di m; ed è per 

 questo che è impossibile, seguendo l'indicato artifizio, di trasformare un'equa- 

 zione del terzo grado in altra del secondo, senza introdurre delle condizioni 

 assurde e delle eguaglianze erronee. 



7. Peraltro il chiarissimo Ruffini, partendo da più generali principi], anzi 

 con una dimostrazione, detta da lui stesso dimostrazione a priori j pervenne 

 a trasformare l'equazione di terzo grado in altra di secondo, ed ottenne cioè 

 la soluzione del problema senza pericolo d'incorrere in particolari errori, od 

 in falsi supposti. E ben vero che questa trasformata del secondo grado essen- 

 do identica con quella ottenuta per la via poc'anzi analizzata, fa nascere una 

 ragionevole suspizione, che o non sieno sì generali i suoi principii , o ve ne 

 abbia introdotto d'illusorii, di quelli cioè che nominati furono da un inge- 

 gnoso Matematico algebriche fantasmagorie. Comunque siasi la cosa, si tenterà 

 di qui indicare, e brevemente, le idee precipue dell'autore, per poter poi sog- 

 giungere quella dimostrazione, la quale confermi che anche in questo meto- 

 do, senza ricorrere ad assurde relazioni, non si giunge alla formula cardanica. 

 Parte egli, per maggiore semplicità, da un'equazione mancante del secondo 

 termine, e poi assume la funzione più semplice, che esprima in generale le 



