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radici di qualunque trasformata, e trova, com'era di ragione, che quella, ge- 

 neralmente parlando, è determinabile da un'equazione del sesto grado, di cui 

 le radici sono della forma seguente : 



,../(*') (x") (*'"); 2.a/(.r'") (,r) (*"); 3.a f(x") (x") [po'); 

 frf(x') (*'") (x"); 5.a/(*") (x) (*'"); 6.*/«) [x") (x'). 

 Conosce poi indispensabile, perchè giugner si possa alla soluzione del pro- 

 blema, che questa novella equazione abbia alcune delle sue. radici fra loro 

 eguali, ma che tal eguaglianza nasca dalla forma, non dal valore particolare 

 delle radici della proposta; altrimenti non si otterrebbe che una soluzione ap- 

 punto particolare ad alcuni casi. Ma siccome la trasformata, a cui si tende, 

 esser deve al più del grado secondo, mentre qualunque altra di grado supe- 

 riore riuscirebbe inutile , presentando le stesse difficoltà , od un maggior nu- 

 mero di quelle che offre la data ; così conchiude , che le sei radici della 

 trasformata in funzione della primitiva esser dovranno eguali fra loro a tre 

 a tre, per cui due soltanto allora divenendo i valori diversi, l'equazione si 

 ridurrà appunto del grado voluto. Afferma che infinite sono le funzioni le 

 quali godono di questa prerogativa; e lo deduce dall'analisi che accurata in- 

 traprende sulle sei funzioni delle radici sopra esposte, le quali riduce a due 

 soltanto, e per artifizi] veramente ammirabili, e dietro profonde considerazioni, 

 due forme generali stabilisce alle sei indicate radici, espresse da certe algebri- 

 che frasi opportune all'intento; intorno alle quali conclude, che qualunque 

 esse sieno, qualunque forma loro si dia, e qualunque permutazione si faccia 

 tra le radici della proposta , non possono mai acquistare che due valori diversi. 

 La prima di queste funzioni chiamata V, e V" l'altra, l'equazione da cui fa 

 dipendere il loro valore è appunto della seguente forma: V* + SV -\- T=o. 

 b\° 11 problema è ora ridotto alla sola difficoltà di determinare i coeffi- 

 cienti S e T in funzione dei coefficienti della data. Siccome poi è cosa fa- 

 cile il convincersi che anche nell'equazione v 1 — nv = o si parte dal 



supporre il coefficiente n eguale alla somma di due cubi, ed eguale al 



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loro prodotto, così facilmente si dimostrerebbe che tutte le lunghe ed astratte 



considerazioni del signor Ruffini poggiano su di quella stessa ipotesi, e che in 



fine alla x si sostituì la somma di quelle due arbitrarie per giungere alla 

 trasformata. Ma, volendo correre questa via, si darebbe in analisi troppo lun- 

 ghe ed in confronti tediosi, mentre sarebbe necessario fermarsi a considerare 



