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ciascuna delle astratte proposizioni dell'autore, le quali essendo molte ed ar- 

 due, condurrebbero a lunghi calcoli: meglio è dunque attenersi ad un me- 

 todo quanto breve, altrettanto pure decisivo, come a quello il quale, condu- 

 cendo in ambidue i casi ad identità di risultati, fa conoscere che nel calcolo 

 si sono introdotti i medesimi falsi supposti. S dunque non potendo essere che 

 la somma o la differenza di quelle quantità le quali in prodotto danno l'ul- 

 timo termine T (qualunque altra relazione renderebbe assurdo sì il valore di 

 V\ come quello di V" , e nulli quindi tutti i premessi ragionamenti) ; così 

 appunto egli ci dà S eguale alla somma di due cubi, e T uguale al loro pro- 

 dotto, cioè S = p" J + q' 5 ; T = p'5 q$. Dimostrale p q funzioni delle ra- 

 dici della primitiva, trova il chiarissimo autore, dietro i principii da lui pre- 

 messi, p = x + a x" -+- a' x" , e q' = X -f- a x'" + a* x"j intendendosi già 

 per a e per « 2 le radici cubiche immaginarie dell'unità. 



q.° Rapidamente così accennate le astratte proposizioni del celebre Mate- 

 matico, ci siamo condotti a quel punto in cui è facile di dimostrare che il 

 valore di p' e q è un valore identico con quello trovato per p e q. Nell'al- 

 tra soluzione, ottenuta per semplici artifizi! di sostituzione, abbiamo veduto che 

 3pq non può essere eguale di m , finche sussista l'equazione x=p + q. 

 Ma si può anche dimostrare che m non si potrà mai sciogliere in due fat- 

 tori p e q, i quali sieno funzioni delle radici , senza introdurvi quantità im- 

 maginarie. Diamo ad m una forma generale in funzione delle radici. Chia- 

 mata x la maggiore, sia una delle minori p -f- n, e l'altra sarà quindi p — n, 

 cioè facciasi x" = p + rc, x = p — ir; per cui x = 2 p e p = , 



mentre risulta poi ir = . Queste forme non alterano punto il valo- 



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re, ma ci presentano, come è facile convincersene, il coefficiente m sotto la 

 forma 3 ?' 1 -\--.' ì , tale cioè che è impossibile di scioglierlo in due fattori reali. 

 Resta ora da dimostrare che i valori ottenuti per p e q , partendo dall' ana- 

 lisi del signor Ruffini, sono identici a quelli ili p e q ottenuti per la via or- 

 dinaria, cioè di dimostrare che p e q' non sono che i fattori di m moltipli- 

 cati per una costante, per cui la trasformata V 1 + S V -f T=o, a cui per- 



m 

 venne quell'autore, è identica non solo della superiore^ — 7M'+ = 0, 



ma che vi ci si giunse introducendovi le stesse relazioni immaginarie. 



