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 Infatti nell'equazione p' = x ■+■ a x" -\- a* x"' si ha x' ^= — [x" + x") , 



_i-l/"ZT3 . -j + ^^T ;■' ..... 



a = ; a = ; quindi per via di semplici sostituzio- 

 ni e semplicissime riduzioni la forma del valore p si cambia successivamente 

 e seguenti : p = — x — x -f- a x -\- a x = [a — i)x + (« — i)x ., 



ovvero p = l 1 } x -f j — i 1 x 



a I \x -H — I x , ovvero p = — Voi J x 



quindi /}' = — m (f 1/3 — J— tt ^ — i): ma siccome egli dà poi a q il va- 

 lore di x' + a x" -f- cfx'; così, fatte in questo pure le necessarie sostituzioni 



-, ,^T j f *"+x'" \\/ì (oc"-x'"\ ,/ ( 



e riduzioni ,, si avrà q = — y 6 II I vi — j 1 V — i > 



= — • sH? K3~« VZT7), ed il prodotto p' q = 3 (p ^3^+ « K^i) 

 (P 1/3^1" VIT7)==3 (3 ? 2 + ■?•): ma per essere anche 3pq = 3 p a + t? 

 = (? ^3-r- 71 1/ — i) (9 VZ — » 1/ — i), s ; retrocederebbe quindi con tutta 

 semplicità fiuo ad ottenere per p e q i valori medesimi dati ape q ' , che 

 solo differiscono d'un semplice fattore costante. Ecco quanto doveasi dimo- 

 strare. Dunque alla formula cardanica non si perviene né seguendo la via co- 

 mune, né quella immaginata dal signor Raffini, senza partire da assurdi rap- 

 porti, o senza introdurvene ; anzi, se verrà data un'equazione vera, una rela- 

 zione reale fra le radici ed i coefficienti, non condurrà questa alla formula 

 di soluzione, senza che vi si introducano esplicitamente quantità immaginarie. 

 Eccone un esempio. 



io. Sieno, come sopra, x'_, x" , x'" le tre radici reali disuguali, la dif- 

 ferenza fra le minori x" — x" sia indicata per d_, e l'equazione resti sempre 

 la propasta x^ — m x — rc— o. È facile dimostrare queste due proposizioni: 

 il quadrato della massima radice è uguale alla terza parte della differenza che 

 passa fra il quadruplo del coefficiente m del terzo termine ed il quadrato 



della differenza delle radici minori, cioè di dimostrare che è x" 1 = ; 



mentre essendo ni — x" 2 + x""* -+- x" x'"_, sarà 4 ni — d 1 = 4 x" 1 + 4 x '" 2 



+ / " tH tf-x "'2 ■ " "* 1 / II • ll>\t I 75 



l^x x — x % — x -+- 2 x x , ovvero 3 (x +x )=4 m — <*> 



