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dezza, la superficie del poliedro si andrà sempre accostando ad una certa area; 

 e questa, che ne viene ad essere il limite, è ciò che si definisce dal sig. Bel- 

 lavitis per area della superficie curva. Simile definizione ha luogo per la ret- 

 tificazione delle curve, per la loro quadratura, come pure per la cubatura dei 

 volumi. 



Quanto alla rettificazione delle curve si potrebbe dire che per la lunghezza 

 di un arco intendesi quella retta, nella quale si suppone potersi distendere; e 

 simile cosa si potrebbe dire delle superficie sviluppabili: la necessità però 

 di dare una esatta definizione dello spianamento delle superficie è di per ss 

 stessa palese. 



Qualunque però sia l'idea che ci vogliamo formare della rettificazione, 

 dello spianamento ec, quando la differenza della quantità da determinarsi si 

 possa racchiudere fra due quantità coincidenti nei loro primi termini, vi si 

 può applicare il principio delle tre serie, come ho fatto nella mia Memoria. 

 Rispetto poi ai casi nei quali non può verificarsi quella condizione, è neces- 

 sario direttamente calcolare il limite. 



Questo metodo è quello che il signor Piola segue generalmente nella citata 

 Memoria. I calcoli però, ai quali egli è condotto, sono soverchiamente lunghi: 

 per la qual cosa studiando di poter ritrovare una semplificazione, mi sembra 

 finalmente d'esservi giunto mercè il teorema che mi farò ad esporre. 



Prima però mi è necessario di far osservare, secondo quanto giustamente 

 avvertì il sig. Piola , che dobbiamo separar bene nella mente le idee di limite 

 e delle quantità approssimanti. La lunghezza dell'arco di una curva non è 

 l'ultimo dei poligoni , come fu detto da alcuni, ma è quella lunghezza alla 

 quale continuamente si accostano i perimetri dei poligoni inscritti. L'idea di 

 poligono non può escludere quella di altro che più si approssimi alla curva, 

 il carattere del limite cioè la sua proprietà determinante sta appunto in ciò 

 che i poligoni continuamente vi si accostano. 



Premesse queste cose , prendiamo a considerare una funzione delle due 

 variabili x,y, poiché quanto diremo rapporto alle funzioni di due variabili si 

 potrà estendere agevolmente a qualunque altra. Supponiamo adunque che i 

 valori totali di x,y, ai quali devesi estendere quella funzione, sieno divisi in 

 un numero h, k di valori particolari, onde il valore totale della funzione venga 

 diviso in li k valori parziali. Fingasi adesso che per ognuno di questi valori 

 sia determinata una certa quantità. Accrescendo il numero dei valori parziali 

 della funzione, crescerà il numero di queste quantità. Suppongasi che questo 



