•220 



numero si possa crescere indefinitamente, e che la somma abbia un limite, e 

 questo costituisca appunto il valore di quella funzione ; e proponiamoci di 

 determinarla. A questo oggetto basterà determinare di quelle funzioni incognite 

 il differenziale parziale di secondo ordine rapporto ad x,y, poiché mediante 

 il calcolo integrale passeremo alla conoscenza di quella. Onde però fissare 

 le idee, la quantità che si determina fra i valori della funzione da ni ad ni + n 

 rapporto ad x, e da p a p + q rispetto ad y, si denominerà quantità appros- 

 simante fra que' limiti. Si vede quindi che da una approssimante si passerà 

 facilmente ad un' altra . 



Ciò posto, volendo determinare il differenziale secondo parziale dell'inco- 

 gnita funzione basterà poter conoscere il termine di secondo ordine rispetto 

 a dx e dy della differenza finita parziale. Sieno pertanto dx,dy divise in 



a, b parti ri dx, r 2 dx .... r a d x ; S\ dy, Si dy s\, dy, e sarà 



Ti + rz + f a = i) come pure Si + s? + + si, = i. Avremo così 



ab approssimanti della differenza finita parziale, e fet loro somma conterrà le 

 quantità x,y, dx, dy, più i varii coefficienti numerici delle parti aliquote 

 delle variazioni dx, dy variabili. Se di ogni approssimante si suppone il va- 

 lore ordinato secondo le potenze di dx, dy, preso il limite della somma, si 

 avrà la ricercata differenza finita della funzione; e siccome se ne ricerca il 

 differenziale , così basterà di ogni approssimante tener conto del termine con- 

 tenente i due fattori dx, dy, e della somma di questi prenderne il limite. 



Ora supponiamo che l'approssimante della differenza finita abbia per pri- 

 mo termine Hdxdy, essendo // funzione di x,y; onde avere l'appros- 

 simante parziale, corrispondente ad ri dx, s„ dy, si sostituirà ad x, y ; 

 x -f (/■, + r 2 — r t —,) dx, X + {si + s 2 — s v — ,) dy, ed a dx, dy; 

 rt dy, s v dy. Quindi il termine di secondo ordine di questa approssimante 

 sarà Hdxdy. rt s v . Sommando i termini di secondo ordine di tutti gli ap- 

 prossimanti parziali, avremo il termine 



Hdxdy (ri + r 2 + r a ) (s L + s? Sb ) = H dx dy. 



Siccome adunque questo termine è indipendente dal numero degli ap- 

 prossimanti parziali, sarà anche il termine di secondo ordine del limite, e 

 però il differenziale ricercato. Questo poi è anche il termine di secondo or- 

 dine dell'approssimante relativa alla differenza finita. Il ragionamento che ab- 

 biamo istituito si può estendere agevolmente ad una fuuzione di un qualun- 

 que numero di variabili, e però si può stabilire il seguente teorema: « il dil- 

 li ferenziale parziale dell'ordine n simo > rispetto ad x,y,z... di una funzione 



