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«delle variabili x, y, z , è il termine dell'ordine n f ' mo , rapporto a 



ndXj dy, dz... dell'approssimante della corrispondente differenza parziale di 

 » quella funzione. » 



Prima di dedurre alcune conseguenze da questo teorema osserviamo che 

 potrebbesi sospettare o che il limite dei termini degli ordini superiori fosse infinito, 

 o che secondo la differente successione degli approssimanti si avessero diffe- 

 renti limiti. Quanto alla prima difficoltà le circostanze particolari del problema 

 faranno conoscere se la somma delle quantità approssimanti possa crescere in- 

 definitamente, o no; nel qual secondo caso non potranno i termini degli ordini 

 superiori avere per limiti l'infinito. Rispetto alla seconda difficoltà si noti che 

 se vi avessero differenti limiti, dovrebbero tutti avere lo stesso differenziale, per- 

 chè indipendente dalla successione degli approssimanti; quindi non potrebbero 

 differire che nelle funzioni completanti l'integrale. Siccome però queste fun- 

 zioni vengono determinate quando sieno stabiliti i limiti dell'integrale, cosi non 

 vi potrà essere che un solo limite. Queste due osservazioni sono di tutta l'impor- 

 tanza, come notò il sig. Bellavitis nel luogo citato, e dietro il modo col quale ho 

 dimostrato il teorema credo sia tolto ogni dubbio sull'esistenza d'un solo limite. 



Si noti ancora, che il teorema enunciato ha pur luogo quando non si as- 

 sume il limite per definizione della funzione incognita, ma si sappia che gli 

 deve esser eguale. Così se nella rettificazione delle linee curve si risguardi per 

 lunghezza dell'arco quella retta nella quale si può stendere, sarà definita in- 

 dipendentemente dai poligoni inscritti, ma si dimostrerà facilmente che il loro 

 limite deve coincidere con quella lunghezza. Quindi vi si potrà applicare il 

 teorema enunciato superiormente. 



Venendo adesso ad indicare alcuna fra le moltiplici conseguenze di quel 

 teorema, consideriamo in primo luogo la rettificazione delle curve. L'approssi- 

 mante di un arco è la corda; quindi il differenziale dell'arco è il termine di 

 primo ordine della corda. 



Se una curva si riferisce a coordinate rettilinee, l'approssimante dell'area 

 è il trapezio contenuto dalle ordinate estreme, dall'asse fra loro compreso e dalla 

 corda; quindi il differenziale dell'area sarà il termine di primo ordine del tra- 

 pezio rettilineo corrispondente alla differenza. Che se la curva si riferisce a 

 coordinate polari, l'approssimante è il triangolo contenuto dai raggi vettori cor- 

 rispondenti all'estremità dell'arco e della corda; quindi il differenziale dell'area 

 sarà il termine di primo ordine del triangolo rettilineo corrispondente alla dif- 

 ferenza finita dell'area. 



