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Combinando poi questo teorema con quelli che si riferiscono alle quantità 

 dei varii ordini, si ottengono con somma facilità dei risultati che altrimenti ri- 

 chiedono dei lunghi calcoli. Sia una superficie curva riferita a coordinate or- 

 togonali; l'approssimante è la somma di due triangoli inscritti in essa: quindi 

 il differenziale parziale di secondo ordine sarà il termine di secondo ordine 

 dei triangoli corrispondenti alla superficie, che ha per projezione dx dy. Ora 

 le aree di questi due triangoli, per quello che ho dimostrato nella mia Memo- 

 ria, differiscono dalla porzione corrispondente del piano tangente in quantità di 

 ordine superiore al secondo: dunque il ricercato differenziale sarà eguale al 

 termine di secondo ordine di quella porzione del piano tangente, cioè eguale a 



d X dy V y-r^-) % + (£)" 



Il problema dello spianamento delle elicoidiche ammette quindi una facile 

 soluzione, avvegnaché la formula antecedente può eziandio a questa superficie 

 applicarsi. Del resto si può ritrovare una formula più comoda, avendo riguardo 

 alla loro generazione. La genesi di questa superficie può esprimersi comoda- 

 mente con una equazione fra le due quantità, luna delle quali esprime il moto 

 progressivo lungo l'asse, l'altra il rotatorio. Indicando con z ,v queste due quan- 

 tità, l'equazione v — F (z.) rappresenterà tutte le superficie elicoidiche ad asse 

 rettilineo e a retta generante. Volendo passare a coordinate ortogonali, basta 

 prendere per asse delle elicoidiche quello dello z, e l'angolo di rotazione v 

 riportarlo all'asse delle x. In tal caso si avrà tang. v = — , e 1 equazione ge- 



y 



nerale delle elicoidiche sarà: Are. tang. — = F (z). 



x 



IN ella ricerca della formula per lo spianamento si potranno risguardare come 

 variabili l'angolo di rotazione, e la lunghezza della retta generante valutata 

 dall'asse. Si farà prima variare l'angolo v di dv, quindi la lunghezza r della 

 retta ruotante di dr, e tenendo conto del termine di secondo ordine dei due 

 triangoli approssimanti si otterrà facilmente pel ricercato differenziale dell'area 

 dr j/ [d e 2 + r 2 dv 3 ), nella qual formula si potrà sostituire al dz una fun- 

 zione differenziale in v per mezzo dell'equazioni della superficie. Questa for- 

 mula è la stessa di quella ottenuta dal sig. Bellavitis, e ch'egli osservò po- 

 tersi integrare immediatamente rapporto ad r. Dietro le cose precedenti si potrà 

 determinare agevolmente la formula per lo spianamento delle elicoidiche ad 

 asse curvilineo e a linea generante qualunque. 



