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nazione di tulle le proprietà mefriche, le quali si mantengono le stesse in tutte le 

 projezioni di uua figura, dipendentemente dalla sussistenza di alcune proprietà 

 grafiche stabilite ; ma nella Geometria derivala basta considerare una classe di 

 queste proprietà metriche, la quale, sebbene particolare, è feconda di este- 

 sissime applicazioni, ed ha il grande vantaggio di essere facilissima a ricono- 

 scersi. Le proprietà di questa classe sussistono anche nel caso della projezione 

 ira rilievo (3.), purché tutte le rette che fanno parte di una figura abbiano ret- 

 tilinee le loro projezioni nell'altra figura. — Sia O (Fig. 5.) il centro di pro- 

 iezione, rispetto a cui le figure, piane o no, ABC DE A'B'C'D'E' sono pro- 

 iezioni luna dell'altra; e supponiamo data una relazione metrica fra le distan- 

 ze AB, BCj A E, ec. E chiaro, che se sostituendo in questa relazione una 

 qualche espressione di tali distanze, essa si riducesse a contenere i soli angoli 

 AOB, BOC, ec. (cioè esprimesse una proprietà del fascio OAB...), noi 

 saremmo certi che la medesima relazione ha luogo anche rispetto alla figura 

 AB..., poiché gli angoli predetti sono gli stessi angoli A'OB', BOC', ec. 

 Ora chiamando p, q,... le distanze del centro O dalle rette AB, BC,... è 



nolo che A B = 2±21 &eQ A OB,BC=^^.sen BOC, A E = ^-2£ 

 p q p 



sen AOE, ec. Da ciò facilmente risulta, che ridotta la data relazione ad una 

 equazione, di cui ciascun termine sia un prodotto di rette diviso per un pro- 

 dotto di altrettante rette, dopo fatte le sostituzioni spariranno tutte le O A, 

 OB,..., p, q,... se nel numeratore e nel denominatore di ciaschedun termine 

 vi sieno le stesse lettere, ed inoltre le stesse direzioni di rette : in questo caso 

 1 equazione sussisterà in ogni projezione A'B'C. .., perchè ciascun suo termine 

 riducendosi funzione dei seni di AOB, BOC, ec, conserverà un valor co- 

 stante. Gli esempii ci renderanno famigliare il significato della precedente pro- 

 posizione, la cui facilità permette di scorgerne a colpo d'occhio le applicazioni. 

 §. 28. Quando da una projezione all'altra non solo tutte le rette si man- 

 tengono rette, ma eziandio tutti i piani sono projezioni di altri piani, si pos- 

 sono riferire le proprietà projettive metriche anche alle aree, ed ai seni degli 

 angoli. Ecco la formula pel secondo caso, dalla quale può facilmente ricavarsi 



quella pel primo: sen ABC= sen 16, à è la distanza del centro O dal 



111 d. OB 



piano ABC, e £ è il diedro formato dai due piani OBA OBC.La formula 

 è projettiva, quando fatte le sostituzioni di questo §. e del precedente, sparisco- 

 no tutte le OA, OB, p, q, d, ec. Si vede che anche in questo caso ogni 



