proprietà projettiva della figura ABC... conduce ad una proprietà del fascio 



O ABC ... prospettivo (24.) con quella figura. 



§. 29. Per un'applicazione del canone stabilito al §. 27. consideriamo 



^, v 7 r. • 1 • i- Ab.aB Aa.lB . 



(rie. 6.) quattro punti in linea retta A b a B; 1 valori di — - — -, — — — - si 



' ° ' * r AB. ab AB. ab 



mantengono gli slessi in ogni projezione A'b'a'B'j perchè tanto i numeratori 

 quanto i denominatori contengono le quattro lettere A B a b, e due volte la 

 direzione della stessa unica retta. Per vedere se vi sia qualche relazione 

 fra que' due valori ricorriamo ad un caso più semplice ; e , per esempio , a 

 quello in cui la retta A ' V sia parallela al raggio projettante SBB' , sicché il 

 punto B' sia il punto all'infinito della retta A' b'a : allora i rapporti a'B':A'B' ' , 



b'B : A'B' diventano eguali all' unità , e rimangono perciò i valori ■^— —q-, , 



A'h' A' a! 



i quali hanno d'altronde la relazione — f- 1 =— — r : perciò anche nella figu- 



b a' b a 



ra primitiva sarà sempre vero, che per quattro punti in linea retta si ha 



Ab.aB Aa.Bb . » . , .. , 



r — 1 = . Oui si dee avvertire, che ho mutato il seguo nel can- 



AB.ab AB. ab x ° 



giare ba in ab, perchè suppongo che le distanze sieno prese partendo dalla 

 prima lettera, e terminando alla seconda; e considero come negative quelle che 

 sono rivolte in verso opposto a quelle riguardate come positive. Tale osserva- 

 zione dee sempre aversi presente al pensiero, onde evitare parecchi sbagli. 



§. 3o. Nel caso particolare, che Ab.aB = — AB.abjì quattro punti A b 

 a B si dicono armonici; e b B si chiamano conjugati armonici rispetto alla 

 retta Aaj cui essi tagliano armonicamente. In questo caso il teorema prece- 

 dente dà A a.bB = 2.A b.aB. — Quando uno dei quattro punti armonici, 

 per esempio Bj è all'infinito, il suo conjugato b divide per metà la retta A a. 

 Cosi l'eguaglianza Ab — baj la quale non è una proprietà projettiva, si riduce 

 suscettibile della derivazione projettiva, quando la si considera come un caso 

 particolare della proprietà dei punti armonici. 



§. 3i. Nella precedente figura il punto b dicesi anche il centro armonico 

 dei due punii A a rispetto all'origine B. La teoria dei centri armonici può 

 estendersi anche ad un maggior numero di punti Pj A t Bj Cj... posti sopra 

 una sola retta; e, per esempio, il centro armonico Q dei tre punti ABC, 

 rispetto al punto di origine P, è determinato col mezzo della equazione 

 1 i 1 3 , , , , QA QB QC T 



PÌ + PB + PC l=a PR> h * aàìe dà «oche— + —-}-— =0. La me- 



