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dere insieme le projezioni di tre vertici. Nel §. 34- ci riusci vantaggioso di 

 passare da una figura semplice ad una più complicata per iscoprire quelle re- 

 lazioni che appariscono facilmente nel quadrilatero completo, ma che riman- 

 gono confuse quando esso riducesi ad una sola retta. 



§. 36. Per corollario del §. 33. noteremo, che se si prende per centro di 

 projezione il punto comune alle due diagonali Bb Ce (Fig. 7.), e si projetta 

 l'intera figura sulla terza diagonale Aa 3 le projezioni di B b coincidono insie- 

 me in P^e quelle di C e in Qj e si ha perciò AQ.Pa.QP: AP.Qa.PQ=i, 

 cioè AQ.aP.AP.aQ •= — 1: dunque (3o.) «Ogni diagonale di un quadrila- 

 » tero completo è tagliata armonicamente dalle altre due diagonali.» Se A cC a 

 fosse un trapezio coi lati A a Ce paralleli, la Bb dividerebbe essi lati per 

 metà (3o.). 



§. 3y.Teor. « Se dai vertici di un triangolo si tirano tre rette che s'incon- 

 » trano in un solo punto, esse tagliano i lati opposti in punti che, alternati coi 

 » vertici, formano una involuzione negativa.» Prendendo il punto S (Fig. 8.) 

 comune alle tre rette Aa Bb Ce per centro di projezione, e projetlando il 

 triangolo sopra una sola retta, coincidono insieme le projezioni dei punii A a, 

 nonché quelle di B bj,e quelle dei C e; perciò il valore di Ac.Ba.CbiAb.Ca.Bc 

 è — 1, perchè tale esso è evidentemente nella figura derivata. 



§. 38. Estendendo la definizione data nel §. 32., diremo che i vertici del 

 quadrilatero AB CD (Fig. 9.) formano una involuzione positiva coi punti L M 

 N P deijati, quando sia A L.BM.C N.D P = A P.D JY.C3J.B L. Ciò si ve- 

 rifica in primo luogo se i punti L M N P sono in linea retta. Questo teorema 

 projettivo, che si estende ad ogni poligono, può dimostrarsi tanto col metodo 

 del §. 33., quanto con un altro processo di derivazione, che consiste nel pren- 

 dere per projezione una figura, nella quale la retta LMNP sia (io.) tutta po- 

 sta a disianza infinita; in questa figura derivata sussiste la precedente equa- 

 zione, perchè i rapporti AL.BL^ BM:CM> CN.DN, DP.AP sono eguali 

 all'unità. — Questo non è per altro il solo caso, in cui abbia luogo l'involuzione 

 positiva degli otto punti. Infatti, se colla projezione da un piano ad un altro 

 facciamo andare all'infinito i due punti £ F (cioè se supponiamo che il piano 

 della figura derivala sia parallelo al piano che passa per EF e pel centro di 

 projezione), sicché la figura derivata sia un parallelogrammo A'B'C'D'_, è evi- 

 dente che in questo è soddisfatta la predetta equazione, se la retta L N' è pa- 

 rallela ai lati B'C A'D'jfì la P' ftl' lo è ai due A'B' CD'; perciò nella figura 

 primitiva ha luogo l'involuzione anche se le rette LN M P passano rispetli- 



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