2 58 



vamente pei punii F Ej nei quali concorrono i lati opposti. — Finalmente per 

 trovare il caso più generale, in cui La luogo l'involuzione positiva, supponiamo 

 scelti ad arbitrio i due punti L M , e prendiamo per figura derivata un qua- 

 drilatero, la cui diagonale A' C sia parallela alla retta L' M' (cioè sia passata 

 all'infinito l'intersezione /): noi vediamo facilmente, che nella figura derivata 

 non può sussistere l'equazione, se non sia anche P' N' parallela ad A' C. Dun- 

 que finalmente nella figura primitiva « è condizione necessaria e sufficiente per 

 ii l'involuzione positiva che le rette LM PJY s'incontrino in qualche punto 

 » della diagonale AC. » 



§. 3g. In quest'ultimo caso generale dev'essere compreso il caso particolare 

 precedentemente considerato; perciò se EPM FNL sono due rette, le LM 

 AC PN deggiono concorrere in un medesimo punto /. — Il teorema grafico 

 così ricavato suol enunciarsi in modi apparentemente differentissimi : così di- 

 cesi che l'esagono EN P F ML, i cui vertici sono posti alternativamente sulle 

 due rette E M FL, ha i punti di concorso CIA dei lati opposti situati in 

 linea retta; oppure che l'esagono ALNCMPj di cui tre lati alternativi con- 

 corrono in Z? e tre in F± ha le tre diagonali che s'incontrano in un unico 

 punto I; ec. Analogamente al §. 6. ci pare che sarà più facile l'applicazione di 

 questo teorema enunciandolo come segue: «saremo sempre sicuri che 9 punti 

 » si trovano a 3 a 3 sopra 9 rette le quali s'incontrano a 3 a 3 nei detti pun- 

 »ti, quantunque non ci sia noto che abbia luogo una delle condizioni di tre 

 «punti in linea retta, o di tre rette concorrenti in un punto.» Anche questo 

 teorema o qualche suo caso particolare si possono vedere nelle Opere succitate. 

 Plùcker, §§. 70. 7 3. 76. 283. 424. 4G6.; Steiner, §. 2 3. III. 



III. Dualismo della projezione e delle proprietà projeltive. 



§. 4°- ka derivazione delle proprietà di una figura da quelle di una sua 

 projezione prende, come vedemmo (2. 27. 24.), la sua origine dalla dipen- 

 denza tra una figura AB... (Fig. 5.) posta in un solo od in più piani, ed un 

 fascio di raggi che partono da un centro comuue O, e vanno ai punti di quella 

 figura. Se in questa dipendenza noi cangiamo i punti in piani, e viceversa (ap- 

 punto com'è indicato al §. 23.), noi siamo condotti a ricercare se abbia luogo 

 una qualche analoga dipendenza tra un sistema di raggi che s'incontrano in 

 un solo od in più punti, ed un piano che taglia quel raggio; dalla qual dipen- 

 denza noi potremo dedurre una derivazione dalle proprietà di uno di tali si- 



