a65 



V. Proprietà prò jet live di una conica.; dedotte da quelle del circolo. 

 — Teoria dei poli e delle polari. — Uso dell'affinità. 



* ■ 



§. 58. Col mezzo degli stabiliti principii ricerchiamo ora le proprietà di 

 quelle curve, ch'essendo collineari del circolo, possono riguardarsi come sue 

 projezioni. Un fascio di raggi passanti pei punti di un circolo forma un cono; 

 perciò ogni projezione del circolo è una sezione conica: noi la diremo più 

 brevemente una conica. 



§. 59. Se il fascio che serve a projettare un circolo forma un cono di rivo- 

 luzione tale, è pure il suo fascio polare (12.), e perciò anche ogni sezione di 

 questo è una conica; di qui risulta il teorema: «La curva derivata-polare (Po- 

 »lar-Curve, Pliicker) di una conica è essa pure una conica; indire un punto 

 » di una delle coniche e la corrispondente tangente hanno per derivati-polari 

 » una tangente dell'altra conica e il suo punto di contatto.» 



§. Go. Le tre specie di coniche si definiscono dicendo, che l'ellisse non ha 

 alcun punto a distanza infinita, l'iperbola ne ha due, e la parabola uno solo, 

 al quale spetta una tangente eh' è tutta a distanza infinita : infatti la sezione 

 del cono è parabolica quando il suo piano è parallelo ad uno dei piani che 

 toccano il cono. 



§. 61. Partendo dalle note proprietà del circolo, ricerchiamo quelle delle 

 coniche, le quali sono e projezioni (58.) e derivate -polari (5g.) di quello. In 

 primo luogo derivano immediatamente dalle proprietà grafiche del circolo le 

 seguenti : « Una linea retta ed una conica o non hanno alcun punto comune, 

 »o si toccano in un solo punto, si tagliano in due.» Si osservi che un'iper- 

 bola è toccata da un suo assintoto in un solo punto, poiché le due opposte estre- 

 mità dell'assintoto indefinitamente prolungato si considerano come formare un 

 solo punto; che infatti esse dipendono da un solo raggio projettante. Ogni dia- 

 metro della parabola, oltre tagliarla in un punto visibile, la taglia anche nel 

 suo punto posto a distanza infinita, poiché tutte le estremità dei diametri infi- 

 nitamente prolungati si deggiono considerare come appartenenti ad un solo 



punto Si ha pure il teorema derivato-polare del precedente: «Da un punto 



» di una conica si può ad essa tirare una sola tangente, e da ogni altro punto 

 »o due, o nessuna. » Nel caso della parabola e di un punto posto a distanza in- 

 finita una tangente è visibile; l'altra è la retta, posta tutta a distanza infinita. — 

 Si notino le seguenti denominazioni: rispetto ad una conica, una retta secondo- 



54 



