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 §. 74- La legge di derivazione projettiva tra le coniche ed il circolo, stabi- 

 lita al §. 66., serve a trovare mollo facilmente la teoria dei poli e delle polari 

 rispetto ad una conica. Una conica qualunque AB (Fig. 19.} ed una sua se- 

 cante ideale TU possono considerarsi (66.) derivate-projettive di un circolo a b, 

 e della retta all'infinito del piano di questo: ora il punto P della figura primi- 

 tiva, che ha per projezione il centro p del circolo derivato, dicesi il polo della 

 retta TU, e questa dicesi la polare del punto P. E poi noto che nel circolo 

 ogui corda ab, che passa pel centro, è divisa per metà in pj — le tangenti alle 

 sue estremità sono parallele, cioè concorrono in un punto della retta ali mu- 

 nito, ec; — ed il circolo è omotetico (52.) di se medesimo rispetto al centro di 

 similitudine p: perciò nella figura primitiva ogui corda AB che passa pel polo 

 P, è tagliata armonicamente (3o.) da questo e dalla sua polare TU; — le tan- 

 genti in A B concorrono in qualche punto della TU, ossia, in una parola, 

 « la conica è omologa armonica (5o.) di se medesima rispetto a qualunque punto 

 » ed alla sua polare, presi come centro ed asse d'omologia. » 



§. 75. Quantunque una conica non possa giammai divenire un circolo nello 

 stesso tempo che va all'infinito una sua secante reale, nondimeno per la legge 

 di continuità si potrebbe estendere il precedente teorema, e dire che eziandio 

 ogni secante reale ha un punto dolalo delle suespresse proprietà. Ma si potrà 

 ottenere una dimostrazione speciale a questo caso considerando nella figura 

 precedente il punto Q e la secante reale AB, i quali hanno per projezioni il 

 punto q posto a distanza infinita, ed il diametro ab. In questo modo si vede 

 che quaudo la polare AB è una secante reale, il polo è l'apice reale (Gì.), in 



coniche collineari, se saranno collineari le stelle a loro prospettive che hanno i centri sulla 

 stessa periferia. Se le retle xx',yy', zz' , ec. (Fig. 1 8.) concorrono in un solo punto, le due 

 coniche xyz.., x'y'z'.. sono collineari, come si rende palese nel caso che la periferia xzx 

 sia circolare, e che il predetto punto di concorso ne sia il centro. Si dimostra pure, che 



quando le coniche xyz.. x'y'z'.. sono collineari, le rette xx', yy', zz', od hanno un 



punto comune , od inviluppano una conica, la quale tocca in due punii la conica xzx ; 

 ognuno di questi punii di conlatto (se è reale), considerato come appartenente alle due co- 

 niche, corrisponde a sé medesimo. 



Problema. Inscrivere nell'ellisse xzx' un triangolo, di cui due lati passino rispettiva- 

 mente pei punti P P' , ed il terzo tocchi una data ellisse omotetica e concentrica alla xzx. 

 Preso ad arbitrio sulla periferia della prima ellisse il punto x, condurremo le corde x Pxi, 

 xiP' X2, e la X2x' tangente alla seconda conica: se x' coincidesse con x, si avrebbe una 

 soluzione del problema; nel caso opposto si opererà in modo simile rispetto ad altri due 

 punti y z, poscia si osserverà che le coniche xyz...,xiyizi .:, xzy-izs.. sono colli- 

 neari, e che lo sono pure le ijjan.., x'y'z'.., perchè due ellissi omotetiche e concen- 

 triche hanno (86.) un doppio contatto immaginario : dunque saranno collineari anche le 

 xyz.., x'y'z'.., ed il primo vertice / del cercato triangolo si otterrà (73.) tagliando 1 el- 

 lisse colla retta che passa pei punti d'incontro delle dae rette xy' x'y, delle due xz x z, 

 e delle Aneyz' y'z. 



