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§. io5. Dalle proprietà dei focili si possono adunque dedurre altre proprietà 

 delle suddette secanti ideali ff f'f. Per esempio, il teorema del §. io3. ci dà: 

 « se una conica e le secanti ideali ff f f '_, che hanno con essa una mede- 

 »sima intersezione fittizia !_, sono tagliate da una retta nei punti m n l X t gli 

 «angoli Uni l'In sono eguali.» — Questo teorema potrebbe dimostrarsi anche 

 col mezzo dell'omologia; poiché dalla proprietà caratteristica (92.) delle inter- 

 sezioni fittizie risulta, che se preudiamo il punto / per centro d'omologia, la 

 figura omologa conterrà una conica con due secanti ideali, le quali avranno an- 

 cora colla conica l'intersezione fittizia I; d'altronde (91.) se facciamo andare 

 all'infinito una deWefff'f j la conica diventa un circolo. 



§. 10G. Prima di terminare questo Capitolo, destinalo ad accennare i van- 

 taggi che possono trarsi da speciali leggi di derivazione, indicherò anche la de,- 

 rivazione-polare-paraholica (19.), di cui si occupò il Chasles nel tomo V. della 

 Corresp. Malli. elPhys. Da quanto ne riferisce il Bullct. Univ.; Janv. i83o, 

 parmi ch'egli abbia applicata tale derivazione solamente a teoremi, cui bastava 

 generalizzare col mezzo della projezione, per renderli poscia suscettibili della 

 generale derivazione polare. Al contrario gli esempii seguenti mi sembrano ri- 

 chiedere la derivazione polare-parabolica, cioè la derivazione polare presa (76.) 

 rispetto ad una parabola ausiliaria. Non è difficile riconoscere che questa deri- 

 vazione è soggetta alle leggi stabilite nei §§. ig. 20. 21. 



§. 107. Prendiamo per figura primitiva una parabola coi diametri paralleli 

 all' asse di derivazione : la curva derivata-polare-parabolica ( curva reciproca del 

 Monge) sarà un'altra parabola, perchè il punto all'infinito di una dà (21.) la 

 tangente all'infinito dell'altra (60.). Ora in una parabola le tangenti fra loro 

 perpendicolari s'incontrano (101.) nei punti di una retta perpendicolare ai dia- 

 metri; dunque, passando alla figura derivata, «tutte le rette che uniscono le 

 » coppie dei punti di una parabola, le cui distanze da un diametro determinato 

 «hanno un prodotto costante (ig. 20.), s'incontrano in un punto di quel dia- 

 » metro. » — Questo teorema fu già trovato dal Prof. Mainardi ( Giornale di 

 Pavia, 1826). 



§. 108. Una parabola, ed una sua secante ideale parallela alla tangente nel 

 punto a cui appartiene il diametro che serve d'asse di derivazione, possono 

 sempre dare per figura derivata-polare-parabolica una parabola ed il suo foco: 

 ora in questa figura derivala, se da qualunque punto della tangente nel vertice 

 della parabola si tira una seconda tangente, ed una retta al foco, queste sono 

 (101.) tra loro perpendicolari; perciò nella figura primitiva «se pel punto in 



