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»cui la parabola è tagliata dall'asse di derivazione si tiri una retta qualunque, 

 )> essa taglierà la parabola e la secanle in due punti, le cui disianze dall'asse di 

 » derivazione avranno un prodotto costante. » 



§. 109. Se invece prendiamo l'asse di derivazione perpendicolare ai diame- 

 tri della parabola primitiva, la conica derivata è un'iperbola, di cui un assintoto 

 è l'asse di derivazione, l'altro è la retta derivata del vertice della parabola; ed 

 operando come al §. precedente, vedremo cbe « se una retta si muove paral- 

 » lelamenle ad un assintoto, le distanze dall'altro assintoto delle intersezioni col- 

 ul'iperbola, e con una retta condotta pel centro, hanno un prodotto costante.» 



— Questo teorema dà la nota equazione dell' iperbola riferita agli assintoti. 



IX. Della derivazione di trasformazione. 



§. 110. Può dirsi in qualche maniera che le derivazioni precedentemente 

 considerate non mutano la forma delle figure, poiché non mai le rette si can- 

 giano in curve, ne queste in quelle. Ora accennerò un'altra derivazione, la 

 quale muta le rette in coniche : io la chiamerò per tal motivo trasformazione. 



— La trasformazione da una figura ad un'altra fu presentata dai Geometri sotto 

 varii aspetti, cui giova conoscere, se non fosse per altro, per convincersi della 

 identità delle risultanze. Noi accenneremo qui brevemente quelle leggi di tras- 

 formazione che s'appoggiano a sole considerazioni geometriche , riserbando ad 

 un'apposita nota l'esame dei metodi algebraici. 



§. in. Nel piano, in cui è posta una data figura, sieno presi ad arbitrio tre 

 punti I K L (Fig. 2g.),. e per ogni punto M della figura ne sia determinato 

 un altro M V, facendo l'angolo I KM' eguale all'angolo MKLj e l'angolo 

 1LTST = MLK. Tutti i punti così determinati formeranno una seconda figu- 

 ra, che si dirà trasformata della prima; così pure il punto M' si dirà il tras- 

 formato di M (réciproque, Poncelet): e si vede cbe viceversa M è il punto 

 trasformato di M' . Nelle precedenti ipotesi si trova (46.) cbe sono eguali anche 

 gli angoli KIM' M IL. — I tre punti / K L io li dirò i punti cardinali della 

 trasformazione (Gardinalpunkte, Ma-gnus); e dirò pure triangolo cardinale 

 il triangolo da loro formato (Hauptdreieck, Steiner). 



§. 112. Tutte le rette o raggi analoghi a KM formano intorno al punto K 

 una stella cb'ò evidentemente uguale alla stella formata dai raggi corrispon- 

 denti KM' . Dicasi la stessa cosa delle due stelle formate in simil modo interno 

 a ciascheduno degli altri due punti cardinali. Supponiamo adesso cbe il punto 



