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l'equazioni lineari a differenze finite di second' ordine per mezzo d'una fun- 

 zione inesplicabile (8), e recentemente il Liliri La mostralo coll'uso delle fun- 

 zioni discontinue (9) clie si ponno sempre assegnare le operazioni mercè le 

 quali si integra in particolare uua data equazione lineare alle differenze, ben- 

 ché non si sappia esprimerne l'integrale con una formola generale. La que- 

 stione poi di ridurre l'integrazione delle equazioni, in cui la differenza della 

 variabile indipendente è qualunque, all'ipotesi di questa differenza costante, è 

 slata risolta dal Paoli (io). 



Ora ristringendoci alle equazioni lineari a coefficienti costanti, poiché l'al- 

 tre due forme di cui sappiamo eseguire l'integrazione mercè le quadrature vi 

 si riducono con facile trasformazione; è noto che l'integrazione loro dipende 

 dalla risoluzione d'una equazione algebrica che ha gli stessi coefficienti della 

 proposta e un grado eguale all' ordine della medesima , e che se questa equa- 

 zione non ha tutte le radici diseguali l'espressione dell'integrale finito svilup- 

 pata in integrali semplici riesce manchevole. 



Per sopperire a questo difetto propose il D'Alembert (11) di riguardare di 

 mano in mano due delle radici che divengono eguali siccome differenti fra loro 

 d'una quantità che si fa evanescente , dopo di avere eseguilo gli sviluppi rela- 

 tivi e mutato le costanti arbitrarie. Ma questo metodo semplice e diretto non 

 è abbastanza sicuro, potendo indurre in errore riguardo a' termini da soppri- 

 mersi; ed infatti ne furono illusi gli stessi Eulero e Lagrange (12) e il primo 

 più d'una volta come ei medesimo generosamente confessa. Cercarono perciò 

 gli Analisti di arguire la legge secondo la quale si modifica l'integrale di cui 

 si tratta nel caso ribelle delle radici eguali, ma i primi loro tentativi parve che 

 tornassero vani, giacché il Lexell giunse a duhitare della possibilità di ottenere 

 formole abbastanza semplici pel caso suddetto (i3). Se non che l'Eulero de- 

 terminò per induzione le eleganti formole che servono all'uopo (i4)» e non 

 ha guari il Plana ne ha dato una compiuta dimostrazione (i5). 



Intento alla ricerca non mai finora intrapresa delle formole corrispondenti 

 per le equazioni alle differenze finite, io mi valgo a questo fine d'un ovvio pro- 

 cedimento egualmente opportuno per le equazioni differenziali, e per quelle 

 alle differenze. 11 metodo, con cui vengo a trattare la teorica delle equazioni 

 lineari, è quello immaginalo dal D'Alembert per dimostrare il Teorema La- 

 grangiano (16), metodo giustamente rimesso in onore dal Libri (17)1 poiché 

 per eleganza e prontezza non inferiore a' più divulgati (i3), e di tutti il più 

 analitico per iscuoprire le proprietà delle equazioni lineari. 



