4o4 



SEZIONE PRIMA 



Equazioni differenziali lineari. 



I. 



Sia l'equazione lineare generale 



(A) j.yL+j l l-JL-+ji,l-Z+ + j aJ = x. 



' dx n dx"-* dx"-a J 



Si faccia y=y l x J e poiché è noto essere (ig) 



( Jm y (J m z d y, d m -' a m(m-i) d 2 l'i d m -*a d m v, 



dx™ J dx m dx dx m -* 2 d x* d x m '» dx m ' 



si avrà la trasformata 



V dx» ml ' dx n -* J J dx V dx" J J 



d n « 



Rappreseli landò con B ,Bi ,....Bn i rispettivi coefficienti di — - , oc, e 



supponendo che^, sia un valore particolare di y soddisfacente alla (A) cjuan 



d a 

 ~dx~ 



d a 



do X = 0, si avrà identicamente /?„=== 0, cosicché posto -r— = # donde si 



trae y =y l fp dx la trasformata diviene 



Se conosciamo del pari un valore (S, di £ che soddisfaccia a questa equazione 

 quando AT=o, e assumiamo $ — (i l fydx si perverrà alla ridotta d'ordi- 

 ne n — i 



C ^f-r- P, la -H . . . . + C-, y = X, 



Ja.n-2 dx"- 3 



nella quale Co^Ci J C J ...C„. 2 si deducono da B ,B l ,..,B n . l , come questi 

 coefficienti da J 0j J l ...J,c J , mutando j, in £, ed ?» iu 71-1. Ma in luogo di 

 delermiuare |8 t soddisfacendo alla (B) nella supposizione di X=0, possiamo 

 desumerlo da un altro integrale particolare J=/ 2 della (A) nella medesima 



ipotesi, poiché allora la relazione y =y x J$ dx ci dà 61 = — -, — ■ • 



