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semplici poleasi formare, senza mestieri di ricorrere al dettaglio dell' inte- 

 grazione per parti come al §. IV. 



OjX 



Dividendo la ( I ) per e j differenziando «, volte e dividendo per 



e j indi differenziando n^ volte e dividendo per e 3 " ec, sì arrive- 



rà ad una equazione il cui primo membro è una funzione lineare in j, a 



coefficienti costanti moltiplicata per A e j ed il secondo membro 



J m e m Xdx m . Se invece di concatenare le radici a l ,a ì ,....a m nel modo 

 ivi indicato, si fossero ordinate altrimenti, conservando però ultima la a m si 

 avrebbe avuto del pari una funzione lineare in y eguale allo stesso secondo 

 membro di prima. Ne segue l'eguaglianza delle due funzioni lineari anzidette, 

 e poiché questa equazione dell'ordine n — n m è soddisfatta da un integrale fini- 

 to con n costanti arbitrarie (I), essa sarà identica; e perciò l'equazione ante- 

 cedente sarà la stessa, in qualunque modo si succedano nella (I) le radici, 

 purché a„, rimanga l'ultima. Fissando l'ultimo posto ad a m . t , ad a m .%, ec. si 

 otterranno equazioni corrispondenti, fincbè attribuendo quel posto ad a,, si 



abbia una funzione lineare in j dell ordine n -n, moltiplicata per Aoe 



eguale ad J'' x e'"* Xdx* . Si differenza ora la prima di queste in equazioni 



n m -i volte, la seconda w m .,-i volte ec, l'ultima Hi-i volte di seguito. 



Avremo m gruppi di equazioni lineari in numero di 7ì m -\-n m .i +...-r-« 1 = « J 



d y d** y d n ~ J y . , . 



fra cui eliminando — . — - . .... - — — , si otterrà la cercata espressione di r. 

 dx dx* dx*'*-' r 



Per eseguire questa eliminazione basta moltiplicare le n„, equazioni del primo 

 gruppo per e m e per rispettive costanti da determinarsi B ,...B m j ec, 



finalmente le n, equazioni del gruppo m esim0 per e * e per le indetermina- 

 te rispettive B .... B . Mandando a zero le somme de' termini affetti 

 r i,77, i,i 



d Y d" 2 Y d n * * V i 



da — j da — — j da — , e uguagliando all'unità la somma de fattori 



dx dx"* dx"- 1 



di A y, risulterà manifestamente la forinola (L) del §. IV. 



