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lubile colla sola estrazione dei fattori, perchè è solo di queste somme che noi ci 

 serviamo nella nuova operazione aritmetica. 



Questo è il caso della risoluzione delle equazioni a coefficienli numerici 

 poicliè data un'equazione x™-\- Ax^"-'^-\-Bx™'--i- . . . +Sa; = T, si può intendere 

 decomposta nel seguente modo x(x-\-a)(x+hXx-hc) .... (x+s) = T. Qui non si 

 conoscono le differenze n, &, e . . . tra i fattori ma si sa che sono m— 1 di nu- 

 mero, e che la loro somma è A, la somma delle loro combinazioni a 2 a 2 è 

 B . . . e il loro prodotto è S. Si troverebbero queste differenze col risolvere 

 l'equazione x'""* — Ax^'^+Bx™'' — . . . . + S = che è di un grado minore della 

 proposta: questa osservazione in molti casi può essere di sommo vantaggio. Ma a 

 noi non preme conoscere le differenze o, 6,c . . seppure non si voglion rendere 

 tutte positive (18), e potremo fare uso direttamente dei coellicienti A, B, C . . . 

 Onde possiamo dire che l'estrazione de' fattori serve alla soluzione di 

 tutti i problemi che mettonsi in equazione. Sotto questo punto di vista viene 

 molto eslesa l'applicazione della nostra operazione aritmetica, essendo di diver- 

 sissima natura i problemi che si pongono in equazione. Per esempio chi dicesse 

 quale è il numero che moltiplicato con uno pii^i grande tre unita, ed il loro pro- 

 dotto moltiplicato collo stesso numero aumentato di cinque unita si ottiene 24-. 

 Sarebbe j"(x-|-3)(a;+.'j) = 2i, a:'+8j[:-+15x — 24 = 0, e si troverebbe colla sem- 

 plice estrazione del fattore (18) essere quel numero l'unita. Ora quanti sono i 

 problemi che posson condurre a quest'equazione di terzo grado? Si domandi il 

 numero il cui cubo unito ad otto volte il quadrato d'a 24 meno il prodotto del 

 numero stesso per l.J. Si domandi il numero che moltiplicato per otto volte se 

 stesso più 15 da 24 diminuito del cubo del numero che si cerca. Si voglion tre 

 numeri la cui somma sia —8, il cui prodotto formi 24, e la somma delle loro 

 combinazioni a due a due sia 15. Tutti questi e un'infinita di altri problemi 

 che a prima vista non sembrano appartenere all'estrazione dei fattori danno 

 l'equazione che ho sopra riportata, e perciò si risolvono coU'estrazione dei 

 fattori fatta al §. 18. 



20. Posto che ogni equazione .r'"+Ax"'-*+Ba;"'-^+ .... -|-Sx==T, óve 

 A,B, ..S, T denotano numeri interi, fratti, positivi o negativi ci rappresen- 

 ta (19) un'estrazione del fattore dell'ordine m dalla quantità T, noterò che in 

 tal operazione si fa uso dei coefficienli come qui appresso: 



1 A B C .... s T 



1 J-+A a;-+Ax+B x'+Ax^+Bx+C . . . x'^-'+Ax^-^+.-'.+S x"'^-Ax'"-■'-^-Bx'"-^ 



Per trovare il valore di x distingueremo il caso che tutti i termini A, B, C...S, T 



sieno positivi, dall'altro in cui sieno alcuni negativi. Nel primo caso si procederà 

 come si usa per l'estrazione del fattore quando le differenze tra i fattori sono 

 tutte positive, e nel secondo si userà la regola che ho indicata per il caso che 



