SOVRA IL CALCOLO DEI FATTORALI 159 



vi sieno delle differenze negative. In questo secondo caso procedendo alle so- 

 stituzioni in luogo di X della quantità 0, 1,2, 3 . . . potremo molte volte scor- 

 gere quali sono, o tra quali limili sono comprese le radici dell'equazione. Se un 

 numero farà seguire esattamente la sottrazione, quello sarà una radice. Se due 

 numeri consecutivi n, ?ì+1, sostituiti in luogo di x daranno dei prodotti uno 

 maggiore e l'altro minore di T o viceversa, Ira quei numeri esisterà una radice 

 dell'equazione. Allora ritenuto n per il numero dell' unit'a si cercheranno le de- 

 cimali col metodo d'approssimazione che abbiamo sopra insegnato (li) tentando 

 le diverse cifre numeriche per ordine naturale come si è dello per gli interi. Se- 

 guiteremo a tentare gli altri numeri maggiori di n+1 per trovare le altre ra- 

 dici, per trovare altri due limiti fra i quali cada un' altra radice. In tal modo 

 scopriremo o esallamenle o per approssimazione tutte le radici reali e positive 

 dell'equazione. Che se vorremo anche quelle negative si porr'a nell'equazione 

 proposta — 1/ in luogo di x, e si avrìi una trasformata la quale ha per radici 

 reali positive quelle che erano negative nella proposta. Onde trovate in questa 

 col metodo accennato le radici reali positive si avranno in esse le negative della 

 proposta. L'unica diflicollà incontrasi quando cadono tra un tentativo e l'altro 

 successivo due radici, o un numero pari di radici, perchè in lai caso le due so- 

 stituzioni non danno una il prodotto maggiore di T e 1' altra minore ma ambe- 

 due le danno o maggiori o minori, come se nessuna radice vi rimanesse inter- 

 posta . E questa ditlicolta è tale che non può superarsi senza ricorrere a trasfor- 

 mate laboriosissime. 



21. Questo è il metodo di Budan, al quale mi prendo la liberta di fare . 

 piccole variazioni per pormi d'accordo col metodo proposto per l'estrazione dei 

 fattori. Applichiamolo all'equazione 



lOOx^+QOix^-STSx'- 6682x^+21 8 la;+7686 = 



la quale può presentarsi sotto la forma 



x«+9,0ia;«- 3,73x^-66,82x2+21 ,81x+76,86 = 



Quando si pone in luogo di x, abbiamo che deve esser sottratto da —76,86, 

 e perciò un resto negativo. Posto uno e due in luogo di x, si ha 



1 +9,04 -3,73 -66,82 +21,81 -76,86 

 1 +10,04 +6,31 -60,51 -38,70 -38,16 



1 +9,04 -3,73 —66,82 +21,81 -76,86 

 1 +11,04 +18,35 -30,12 -38,43 



E poiché il 2 fa seguire esattamente la sottrazione sarà una radice della pro- 

 posta equazione. Provando i numeri 3, 4, 5 ... si otterrebbero resultati tutti 



