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dirò che quella operazione ci presenta le equazioni sotto un punto di vista diffe- 

 rente da quello in cui le guardano comunemente i matematici. Infatti suolesi nel- 

 l'equazione a;'"-4-Aa;'""^-l-Ba;"' -+ . . . — T = considerarsi il secondo membro 

 eguale a zero, e decomponibile il primo membro in m fattori di primo grado 

 binomi, dei quali la prima parte è l'incognita, e l'altra è una delle radici presa 

 con segno contrario. Quindi si riduce alla forma (x+«')(x+&'Xa;+e')... =0, ove 

 a', 6', e'. . . prese con segno contrario sono le m radici dell'equazione. Partendo 

 io dal concetto dell'estrazione de' fattori pongo l'equazione precedente sotto 

 Taspetto (X) x'"+Aa:'"-''+Bx'"-2+.... =T; cioè trasporto il termine cognito nel 

 secondo membro, e riguardo il primo come il prodotto di m fattori che differiscono 

 fra di loro per le quantità re, 6, e . . . Così ottengo x (j;+«Xa;+b)(a;+c) . . . =T 

 e la radice x dell'equazione mi si presenta come il primo di quei fattori, e 

 perciò ravviso nella soluzione della proposta la estrazione del fattore in esimo 

 dalla quantità T. 



Ne viene da ciò che se le differenze a^ b, e . . . sono tutte positive sa- 

 ranno positive anche le quantità A, B,... T, e non potrà aversi per x che un 

 solo valore positivo e reale, siccome bene ci insegna la estrazione del fattore. 

 Quando tra le quantità A, B, . . . T ne sono delle negative può esistere piìi di 

 una radice positiva e reale della proposta, ed in generale quando le differen- 

 ze a, 6, e. ..non sono tutte positive. Se prendiamo per radici, o per valori del 

 fattore x anche quelli negativi, e immaginari che sodisfanno alla proposta allora 

 saranno in tutti di numero in come si sa dalle consuete teorie dell'algebra, e 

 come può aversi dalla seguente induzione ritenuto il nuovo punto di vista sotto 

 il quale riguardiamo le equazioni. Si consideri l'equazione del quarto gratlo 



x(x-\-aYx+byx-\-c)=x'-\-(a-hb+c)x'^-h((ib+ac+ic)x--\-abcx = T 



Ammesso che i quattro valori dell'incognita sieno a;, x', a;", x'" potremo porre 

 x\ a;", a;'" in luogo di x, ed avremo quattro equazioni analoghe sodisfatte. Dalla 

 prima di queste sottratta ciascuna delle altre tre, ottenghiamo tre equazioni 

 analoghe alla seguente 



a;' — a;'^+(a+6-f-c)(x'— a!;'^)+(n6-f-ac+6c)(a;2— a;'^)+a&c(a; — a;")=0 



Questa è divisibile per x — x\ ed eseguita la divisione, e fatto lo stesso sulle 

 altre, si hanno tre equazioni analoghe alle due seguenti 



x^-hxl'x^-\-x'-x-hx'^-\-(a+b-\-c)(x''-hx'x-hx"')-\-(ab-irae-ircb)(x-\-x^)-habc=0 

 x^+x"x''-hx"-x+x"^-\-{a+b-\~cXx'^+x"x+x'^^)-\-(ab+ae-i-cb)(x-irx")-habc^O 



Dalla prima sottratte le altre si ottengono due equazioni pure analoghe alla 

 seguente 



a;2(a;'_x")-t-x(x'^— a;"2)+(x'^— a;"^)-h(a+6-f-c)x(x'— a;")+(a+&+cX.j;'2— a;"-2) : 

 j H-(«6+f(c+kXa;'-x") = 



K . 



