SOVRA IL CALCOLO DEI FATTORALI 163 



Questa divisa por x' — x", e falla la corrispondente operazione sull'altra, si han- 

 no le due equazioni 



a;''+x'(x'+a;")+x'^+xV'+a:"'+(a+b+c)x+(ft+6 + cXx'-t-a;")-l-(fi6+ac+6c) = 

 x*+x(x'+x"')+x'2+x'x "'+x"'^-+-(a-i-6-H;)x-f-(a+6-Hc)(x'-f-x"')-l-(a6-l-ac-(-6c) = 



Le quali sottratte l'una dall'altra danno 



x(x" - x"')+x'(x"-x'")+x"-2— x'"2+(«+6+cXx"— x"') = 



E finalmente da questa divisa per x" — x'" si ottiene 



x+x'+x"+x"'+(«+&+c) = 



cioè possono esistere le quattro radici della proposta, e la lor somma è eguale al 

 coetKcienle del secondo tcM-mine dell'equazione preso con segno mutato; e nel 

 nostro concetto è eguale alla somma delle differenze Ira i futlori prese pure con 

 segno mutalo. Questa dimostrazione sebbene particolare rimane generalizzata 

 dall'osservare che qualunque fosse l'ordine dell'equazione purché si supponga 

 un numero di radici che eguagli quest'ordine si giungerà allo slesso resultato. 

 Infatti si hanno sempre colle respettive sottrazioni dei polinomi della forma 



i quali sono divisibili per x — x', e colla divisione si sbassa di un'unita l'ordine 

 del polinomio; e siccome la divisione si faia tante volle quante sono le radici 

 meno una giungiìrcmo ad avere le radici alla prima potenza. Inoltre il resullalo 

 deve esser simmetrico per tutti i termini, perciò nell'equazione generale del 

 grado m non può avere che la forma x+x'+x"+...x('""')+(a-|-6 + c...+s) = 0. 

 23. Dall'aver posta l'equazione generale sotto la forma 



x'"+Ax"'-'+Bx'»-=-t- . . H-Sx = x(x+a)(x+bX'^+c) . . . (x+s) = T 



e dall'aver veduto (2) lo sviluppo del prodotto che è accennalo nel primo 

 membro, si deduce essere A = a+b+c...+s, B = flb+ac+&e,.... ec. Quindi 

 per le note teorie delle equazioni ponendo 



(X',)=x"'-^— Ax'»-2h-Bx"'-^— . . . ±S = 



questa equazione avrà per radici le differenze «, 6, e . . s dei fattori nella pro- 

 posta. Scorgesi adunque una rimarcabile relazione tra questa equazione e la 

 proposta. La medesima relazione passa tra questa e l'altra 



(X.j)=x"'-2+Ax'»-3+Bx'^-'+ . . . +R=0 



e lo stesso può dirsi delle successive equazioni che si deducono annullando il 

 termine cognito, dividendo per l'incognita, e cambiando i segni ai termini in 



