SOVRA IL CALCOLO DEI FATTORALI 1G7 



La qiial formula ò ben più semplice di quella che esprime la radice dell'equa- 

 zione di terzo grado con sole quantità radicali, e riproduce quelle sopra indi- 

 cate (2'i.) per i casi in cui sia A, o B eguale a zero. 



26. Conviene dunque che ora io faccia conoscere non essere disperala la 

 questione del calcolo algebrico su simboli faltorali, e primieramente mostrerò 

 potersi in un fatlorale variare le differenze tra i fattori. 



Si proponga di moltiplicare o dividere le differenze a^b,c..s tra i fattori. 



X 



Nel prodotto (X) x(x-\-a){x-\-b). . .(x-hs) = T facendo x=j 



si avrà a;'(a;'+o/i)(a''+6/j)...(x'+sfi) = /i™T: cioè si dovrà solo moltiplicare o di- 

 videre il termine noto T per la potenza nj di /j, e si saranno moltiplicate o di- 

 vise le differenze. Onde potremo porre 



m m 



|/ T =lt//i"'T 

 a,6..,s " hajib,...jis 



Si proponga di aumentare o diminuire le differenze. Nel prodotto (X) 

 posto x'+h in luogo di x, ed eseguila la moltiplicazione avremo uno sviluppo 



x'"'+AV'»-i+B'x''»-2+... =T— /</4+aX/i+6). ..(/i+s) 



Ora si sa (23) che questo si riduce 



x'(x'-ha}yx'-Jrb') . .(x'+s') = T— /<ft+aX/i+6) . . . (ft+s) 



ove «',&',.•••>«' sono radici dell'equazione a-i™-'— A'a;,™--+B'xi™-5— ... +S = 

 Il problema dipender'a dunque sempre dalla soluzione di un' equazione di un' 

 ordine inferiore di un'unità a quello del fattore proposto. Così per esempio 

 essendoci proposto 3;(x+«) = T avremo a risolvere l'equazione a-, -(a4-2/t)=0 

 e perciò il prodotto cercato sarà a:'(a;'+a+2/()=T — UJi+a). Come anche essen- 

 doci proposto x{x-\-ayx+b)=T dovremo risolvere l'equazione 



e perciò chiamate a' 6' le radici di questa, il prodotto cercato sarà 



a-'(a;'-4-a')(a;'+&') = T - h{h+a){h+b) 

 Onde in generale potremo porre 



VT =h+VT—lilìi+afJi-+-b)...{ìi+s) 

 ap^c.s a',6',c'..,s' 



27. In secondo luogo proponiamoci che le differenze debbano avere fra di 

 loro un qualche rapporto. 



