168 PACINOTTI 



Debbano le differenze stare fra di loro in progressione aritmetica. Co- 

 minceremo da un prodotto di terz' ordine, perchè in quello di secondo lo sono 

 sempre. Il prodotto x(x-\-a)(x-i-b)=T deve ridursi all'altro x'(x'-+-r)i[x'-\-ìr)=V 

 posto x'+ft in luogo di x come si ò fatto (26) qui sopra abbiamo 



a;'3^_(f,+6-H3A)a;'^+((a+A)(6-f-/j)+/<a+/i)+/<6+/i))^' = T— A(/i+aX/»+6) 



e siccome dovrebbe il prodotto essere a;''+3)'a;'--|-2}'V=T' determineremo il 

 valore di A, e di r colle due equazioni che portano ad una soluzione di equa- 

 zione di secondo grado 



3r=(a+b-hU) 2r''=(a-i-h')(b-hh)-hh{a+h)+h(b+h'). 



Ben si scorge che questo processo tenuto per i prodotti di ordine superiore al 

 terzo, darebbe più equazioni che incognite. Perciò non può risolversi general- 

 mente il problema proposto, e conviene adattarsi ad avere tre soli fattori che 

 adempiano la condizione richiesta. Questo problema può avvicinare anche di 

 più di quello che si è detto (17) il calcolo dei nostri prodotti a quello delle fa- 

 colta, e può render molto più semplice la formula di riduzione degli uni alle 

 altre, che abbiamo stabilite. 



Debbano i due primi fattori essere eguali, cioè debba essere zero la 

 prima differenza. Per quello che si è detto (21) otterremo fatta questa riduzio- 

 ne maggior semplicità nelle formule fattorali. Sostituiremo anche questa volta 

 nel prodotto (X) la quantità x'-\-h in luogo di x ed ottenuta 1' equazione (26) 



a;''»+AV'»-'+...4-S'a;' = T-/t(ft+a)... 



determineremo h in modo che vada a zero il valore di S'; lo che come si sa, ci 

 impegna alla soluzione di un'equazione del grado m—i. 



Si vogliano ridurre tutti i fattori eguali, cioè si riducano zero tutte le 

 differenze, che è quanto dire si riduca un fattorale ad un radicale. Si scorge 

 subito come essendo nota la soluzione delle equazioni per mezzo dei radicali 

 fino al quarto grado, potrà la richiesta riduzione aver luogo nei fattorali di se- 

 condo, di terzo, e di quart' ordine. Si abbia per esempio 



x=Vf~ 

 a 



Passando dal fattorale all'equazione sua propria, otteniamo x^+wx— T=0; ma 

 qui sappiamo essere 



2 ""'^ 4 



Dunque ne viene la regola che un fattorale di second' ordine potrà ridursi ad 



