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In generale possiamo dire che quando le differenze tra i fattori sono 

 immaginarie a coppia una della forma 



a (cosy + sen y V' — l), e l'altra a (^cos (p — sen tp V - i) 



il fattore può essere reale. Infatti queste due differenze portano nel prodotto 

 la quantità 



(x + aeosf + asen<pV— l)(a; + « eosy — ase?i fV—l')=a^ + '2.axcos(p + x'^ 



cioè fattori reali di secondo grado, dai quali resultano termini del lutto reali 

 nel prodotto. 



Il caso precedente non esclude che il fattore sia immaginario, e lo 

 potrà pure essere quando i coefficienti della proposta, o l'ultimo termine 

 siano immaginari. Per sapere se tra i fattorali che esprimo le radici della pro- 

 posta ve ne esistano degli immaginari, e quanti, potranno usarsi tutti i criterj 

 che si danno nell'algebra per conoscere quante sono le radici immaginarie di 

 un' equazione, essendo cosa agevolissima dato il fattorale ritornare all'equa- 

 zione sua originaria. Ed ancora per sapere se tra i valori del fattorale ritrovati 

 ne esistono degli eguali potranno usarsi i metodi che si conoscono per scoprire 

 le radici eguali dell'equazione proposta. Uno di questi metodi, il quale consi- 

 ste nella ricerca del massimo comun divisore fra la proposta e la sua derivata, 

 fa scoprire non solo quante, ma eziandio quali sono le radici eguali, e con 

 alcune modificazioni può, sebbene con penosissimi calcoli, farci conoscere le 

 radici immaginarie, o i valori immaginari dui fattore. Ne esistono ancora altri, 

 e qui soltanto prememi di rammentare che si conoscono metodi capaci di far 

 distinguere i valori eguali, e quelli immaginari del fattorale. 



Tra le m radici, che nell'equazione 7/"'=l rappresentano l'unita, ve n'è 

 una, tutt'al più due reali, e le altre sono imaginaric: per conseguenza an- 

 cora le espressioni del fattorale che risolvono la proposta avranno tutte ad 

 eccezione di una, o tutt'al più di due nella loro composizione termini imagi- 

 nari. Nò potremo dire che tutti i fattorali composti di tali termini sono im- 

 maginari, e neppure che quelli i quali non li hanno sono reali, essendoché non 

 è così vincolato il numero delle radici reali e di quelle immaginarie di un 

 equazione. Solamente dedurremo che si hanno spesso simboli fattorali sotto 

 aspello d' immaginari senza che lo siano. 



58. Nei calcoli serve che si distinguano i valori eguali dei fattorali da 

 quelli differenti, ed i valori immaginari da quelli reali, e si può alla fine di 

 tutto trovare il valore effettivo degli uni e degli altri quando nel caso partico- 

 lare si riduce la formula a numeri. Darò qui appresso un'esempio ove può in- 



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