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5. 



(') (') 



Usi (ielle formule dell articolo precedente, ed espressioni delle derivate P)j e Pj^ , 

 rispetto ad un'' elemento pi qualunque. 



Distinguendo le funzioni P in diversi ordini secondo il numero dei fattori 

 componenti il primo termine, le due equazioni (6) ci offrono il modo d' espri- 



(') (^) 

 mere le funzioni Pjj , P^ , dell'ordine >., che risultano formate d'una moltiplicità 



di termini, quando >, è un numero un pò grande, per mezzo di due prodotti bi- 

 nari! di funzioni più semplici d'ordine non maggiore di ^ — i + 1 , ed i—\. 

 Un altro vantaggio delle formole (6) è quello di poterci somministrare con 



(') (') 

 semplicit'a le derivate di P,^ e P^ rispetto ad uno qualunque degli elementi p . 



(') {') 

 Infatti, osservando che l'elemento pi-^ è soltanto compreso in Pj_i e P,-., , e non 



si trova nelle funzioni P che hanno l'indice superiore > i — 1 , o l'inferiore 



</— 1 , eseguendo la derivazione delle (6) rispello a pj_,, ponendo mente alle 



formole (2), e cambiando in seguito per semplicità l'indice i— 1 nell'indice (', 



ricaveremo 



(') (') 



dPi ('+*) (') d?-, ('+') n 



® d = ^' '-' ' 4 = "' ■"'-■ 



Le altre due equazioni, segnate (7) e (3),, ci somministreranno il mezzo di fare 

 delle utili riduzioni nelle ricerche che istituiremo in appresso. 



6. 



Invariabilità delle funzioni P invertendo gli indici degli elementi p. 



Se si scrivessero le equazioni dell'articolo 4 in ordine inverso, come segue 



(9) 



h-i = — Pi k + ^>+i 1 



li-1 '= — Pi ?(■ + fl+l 1 



