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vale a dire, le funzioni P non devono cambiare di composizione, sia che, nel 

 formare i loro primi termini, secondo la legge data all'articolo 1, si cominci dal- 

 l'elemento p coir indice minimo, e si salga, d'unita in unità, sino a quello 

 coll'indice massimo, o viceversasi cominci dall'elementop coU'indice massimo, 

 e si discenda sino a quello coU'indice minimo, surrogando a tutti gli indici i 

 loro complementi a l + i. 



Questa proprietà corrisponde al principio, già adottalo nell'Ottica, che un 

 raggio di luce, il quale ha percorso un sistema ottico od una sua porzione, ritor- 

 nerebbe a seguire lo stesso cammino in ordine inverso, se retrocedesse rien- 

 trando nel sistema per lo stesso punto da cui è uscito, e con direzione eguale 

 ma contraria. Infatti ponendo f = 2 t + 1 e ^ = 2 y — 1 , nel sistema delle 

 equazioni (4), questo rappresenterebbe il corso del raggio diretto, le variabili 

 li-i e Ci appartenendo alla direzione del raggio incidente ed alle coordinate del 

 suo punto d'incontro colla superficie i"'™", e le vari;ibili !),+, e Ix alle quantità 

 corrispondenti del raggio emergente dalla superficie v«='™ Invece lo stesso siste- 

 ma scritto in ordine inverso, come è dato dalle (9), rappresenterebbe il corso 

 del raggio retrogrado. Per riconoscere come ciò sia si noli, che le equazioni del 

 corso di questo raggio si possono dedurre direttamente dalle (10) del Capitolo 

 I, cambiando in esse il segno a tutti i coseni, e permutando gli indici alle 

 coordinate ed ai coseni allinenli alle due superficie successive, ciò che non 

 introdurebbe altre variazioni nelle equazioni '5j, date nel Capitolo III, se non 

 quelle, che le 4 aventi per coelficiente l'unita avrebbero permutato di posto, e 

 e le I con indice pari prenderebbero il segno negativo. Basterà quindi rendere 

 positivi tutti i primi membri delle ottenute equazioni, quando non lo sono, 

 cambiando il segno a tutti i termini, per vedere che esse vengono a coincidere 

 con quelle del sistema i9}. Pertanto i valori di ii e ^,_, , forniteci dalle (10) 

 e (l-^), dovendo in un caso e l'altro essere eguali, come risultanti dallo slesso 

 sistema d'equazioni scritto prima dirottamente colle (4), e poi inversamente 

 colle (9), ne seguo che le identità (14), le quali verificano queste eguaglianze, 

 concordano coli' enuncialo principio, e lo esprimono analiticamente. 



Gli indici i e >., nelle idenlità (14), potendo essere qualsivoglia, riterre- 

 mo come una proprietà generale delle funzioni P, che i loro indici superiori ed 

 inferiori sono permutabili fra loro, senza che esse cambino ne di valore, né di 

 composizione. 



7. 



(') (') 



Priifwìplà dille funzioni Q^ dedolle da quelle delle V-^ . 



Termineremo questo Capitolo coli' osservazione che le quantità Q, iutro- 



