DELL' ACCADEMIA. 3t 



2. Nel primo Teorema prende egli a mostrare die se in nn'equci • 

 zione, sostituiti in luogo dell'incognita due numeri, si abbiano due 

 risultati con segni contrarj, i due numeri saranno i limiti d'una o piiH 

 radici reali. Questo Teorema, soggiunge, è noto da lungo tempo, e suol 

 dimostrarsi con Li Teoria delle Curve; ma si può anche dimostrar diret- 

 tamente nel seguente modo ec. ([a} . Dopo un tale esordio olii non cre- 

 derebbe che là nuova dimostrazioue gli appartenesse ? eppure ella è an- 

 tica quanto Mac Laurin , e si trova parola per parola non solo nelle 

 Transazioni Filosofiche d'Inghilterra, ma anche nell'Aggiunte all'A- 

 ritmetica Universale di Newton C^) . Ecco i due Testi . 



Mac-Laurin . 



Si enim supponas a, b, e, d esse 

 radices hujus jeqiiationis , p-atet ex 

 wquationuin genesi quod a* — A.v' &c. 

 =: (x— <2)Cx— /^C^— ^) G'^—^); ideo- 

 que si substitutis K & L prò x 

 in (^x—a')(jK—h~) &c. , produftum sit 

 in uno casu positivum , in altero 

 negativum , sequitur quod nnus ex 

 diìtis facìoribus, si K prò x substi- 

 tuatur, debet habere signum diver- 

 sum ab co quod habet si L prò x 

 substituatur: ponamus illum fafto- 

 rem esse x — h\ cum K — h &. L — h 

 sint quaniitates quarum una est po- 

 sitiva 6; altera negativa, sequitur 

 quod b, una è radicibus ^quationis, 

 debet esse minor quam una &. major 

 quam altera harum quantitatum L 

 & K. 



De-La-Grange, 



Soie X l'inconnue de l'éqnatioa 

 & a, ^. 5- <Scc. ses racines, l'e'qua- 

 tion se réduira, comrae l'on saie 

 à cette forme ^x — «) C^ — Z?)* 

 (^ X — •y^&.c.=:o. Or soient /) & q 

 les nombres qui substitue's par x 

 donneront des résultats de signe 

 contraire ; il faudra donc que ces 

 deux quantités Qp — a^ Qj — /?J) (Scc, 

 Qq — a) 0? — O ^^- soìent de signes 

 diiférens; par conséquent il faudra 

 qu'il y alt au moins deux fafteurs 

 correspondans , comme yj — a & ij — « 

 qui soient de signes contraires : 

 donc il y aura au moins une des 

 racines de l'équation , comme « , 

 qui sera entre les nombres p & q ^ 

 c'est à dire plus petite que le plus 

 grand de ces nombres , <Sc plus gran- 

 1 de que le plus petit d'entr'eux. 



3. Nel secondo Teorema stabilisce il Sig. De-La-Grange che se ia- 

 un' equazione con reali ed ineguali radici , si pongan per x due nume- 

 ri , l'un più grande e 1' altro più piccolo d' una radice , tali però che 

 differiscano 1' un dall' altro men della differenza tra questa e 1' altre 

 radiei reali , le due sostituzioni daranno due risultati di segni cen- 

 trar] . E qui non dice che il Teorema sia già noto da qualche tempo , 

 e sembra perciò che lo abbia egli immaginato : io per altro lo leggo 

 nelle Miscellanee Analitiche del Sig. Waring, Libro poco noto che 

 uscì in Cambridge sette interi anni prima che De-La-Grange leggesse 

 in Berlino la sua Memoria: si sostituiscano -, scrive Waring, / limiti 

 T, p, " 1 r ec. in luogo dell' incognita quantità x nella data equa-^ione , e 

 tante saranno le radici possibili quante le mutazioni dei segni di -4- in -^ 



e di 



(d) Acad J\ny. de BeilÌM a». 176';. p. 313. $. f. 

 (*) Lugd. Datav. 1732. p. 323, Lem. Xll. XUI. 



