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§. II. 



Risoluzione dei Problemi supposti o dedorti dal Sig. Ve-La-Grange 

 • nella sua Teoria . 



8. Io riduco a quatrro Problemi tiutociò che De-La-Grange o ha 

 siippi sto già noto o profondamenre ha dedotto per trovar V Equazione 

 delle Di ferente . Due Teoremi sono il principal fondamento di tal ricer- 

 ca : il primo è di Nev/ton e s' incontra tra le Regole della sua Aritme- 

 tica Universale ; il secondo è del medesimo De-La-Grange, se non deb- 

 ba piuftosto dirsi di Waring . L* uno fu dimostrato in due diversi modi 

 da Mac Laurin e la sua seconda dimostrazione ha suggerita a me l'idea 

 della mia ; 1' altro può dirsi un Corollario del primo e per tal mezzo 

 infutti io giungo a dimostrarlo. Per non interrompere il filo delle solu- 

 zioni comincerò dai seguenti Principi o 



Lemmi. 



9. I. In un' equazione ordinata il cui primo termine ahhia l' unità per 

 coefficiente , il coefficiente del seconda è la somma delle radici , quello del 

 ter^o , dtl quarto ec. è la somma dei prodotti di esse a due a due, a tre 

 a tre ec. Ciò è noto dall'ordinaria teoria dell' equazioni . C-HwI 



10. Dunque il coefTiciente del secondo termine dee riguardarsi co- 

 me lina somma di numeri semplici o d' una sola dimensione , mentre i 

 coefficienti del terzo , quarto ec. sono una somma di numeri composti 

 ^e perciò di due, di tre ec. dimensioni. 



11. II. ÓV si abbia un numero n di quantità f , g, h ec, // numero 

 'delle differem^e di ciascuna da ciascun' altra sarà n — i. Ciò è manifesto 

 dalla teoria elementare delle combinazioni . 



12. Dunque se essendo n il numero delle radici f,g, h ec. di un' 

 equazione, le loro corrispondenti ed opposte differenze / — q e g—f, 

 f—h ed h —■ f ec. , g — h ed fi — g ec. si moltiplichino una o più vol- 

 te tra loro , anciie le somme di tali prodotti conterranno le potenze di 

 f -, g , h ec. un numero n — i di volte. 



Problema I. 



13. Data V equar^ione qualunque senza radicali e sem^a rotti 



X" — Ax''-' -+- Bx'-- — Cx"-; 4- Dx"-+ — ec. =: o [X] 

 le cui radici f , g , h ec. sono incognite, determinar le somme P' , P"' , 

 P' ' , P'^ ec. delle potente prima, ^seconda , ter^a , quarta ec. di ciascuna 

 sua radice . 



ostituisco in luogo di x le incognite radici/, g , h ec. , e traspo- 

 nendo , viene 



/" = A/"-< — Rf'-'- -t- C/"-3 — D/"-4 ■+■ ec. 

 9" = A(7"-' — Bq'-'- -)- Cq'~- — Dg'^-+ -*- ec. 

 à" = AA"-' — Bà'-' ■+■ Ch"-i — DA''-4 4- ec. 



dun- 



