DELL' ACCADEMIA. 35 



dunque sommando, si avrà 1' equazione 



y„ 4.3- ^ii" -t-ec. = AC/'-' -H^"-' -f-/^'-' -<-ee. ) — 



B (y »_: -^5'-= -*- A."-' -i- ec. ) -^ C (/"-^ -*- c/'-ì -+- A'-^ -t- ec. ) — 



D (y..-4 -v- ^»-4 _H /z'.-+ -i-ec.) -^ ec. (Z) . 



1°. Sia nz=ii l'equazione (K) avrà dunque una sola radice /; 

 perciò sostituendo il valor di n in (Z) , verrà / =r A/° — A . 



2.° Ma sia ora n un numero qualunque e si voglia la somma P del- 

 le radici , E' evidente che le prime potenze avendo una sola dimensio- 

 ne i coefficienti B; C, D ec. che ne hanno due , tre, quattro ec.[io]. 

 non possono entrare nell'espressione della somma cercata; dunque per 

 quante dimensioni abbia l'equazione [X], ella riguardo al presente og- 

 getto, si ridurrà sempre ad x" — Ax"-' := o , ovvero ad x — A := o : ma 

 per questo caso abbiamo già trovata la somma (i"); dunque l'espres- 

 sione di essa è generale, e si avrà sempre f -h g -i- h -^ tQ ~ A = P' , 

 come già si sapeva d' altronde (9) . 



3.° Sia nz=!2. l'equazione (X) avrà dunque due sole radici/, 7: 

 perciò sostituendo il valor di n in (Z^ , verrà /* -h ^^=: A (/H-^r^ — 

 BC/^'+-5°) = C2.°3 AP' — 2B. 



4.-' Ma sia ora n un numero qualunque, e si voglia la somma 

 P'' dei quadrati : non potranno dunque entrare nell' espressione di lei 

 che le combinazioni di due sole dimensioni ; dunque 1' equazione (^X) 

 si ridurrà ad x^ — Ax -+- B =: o (^2.°) ma per questo caso abbiamo già 

 trovata la somma Cs-^) 5 dunque l'espressione di essa è generale, e 

 si avrà sempre /^ ■+■ g"^ -H /^^ -4- ec. = AP' — 2B =: P". 



5.° Col medesimo raziocinio si troveranno le somme P"', P'^ ec. 

 delle terze, quarte ec. potenze delle radici, e le formule di esse pro- 

 cederanno con legge manifestissima nel seguente modo 



Corollari. 



14. I. Se la data equazione (X) mancasse del secondo termine , 

 sarebbe P'=:A = o, e le formule diverrebbero le seguenti, più sem- 

 plici delle passate 



P" ~— 2B 



P'" = 3C 



p.v =:_Bp.. _4D 



P' =_Rp... ^-cP'i -4-5E 



P*" =— BP'" -^-CP'" — DP" — 6F 



G ij »S* 



