DELL* ACCADEMIA. 37 



t' — liec. , g— f, g— li ec. h — f, h— gec. , dìffcnn-^e di ciascuna dille 

 radici di (X) da ciascun' altra . 



1° Poiché il gradò dell'equazione (X) e perciò anche il numero 

 delle sr.e radici è », sarà 72 — 1 il numero delle differenze di ciascu- 

 na da ciascun" altra (u): dunque il numero delle radici della nuova 

 equazione (.Y) e perciò anche il suo grado sarà n (« — i) , numero pari ; 

 dunque l'eciuazione avrà per primo termine z/"("-''. 



2,° Il secondo termine avrà per coefiicienfe la somma delle radi- 

 ci , e supponenda per comodo le tre radici / — ^ =: «7 , / — h^r, 

 a — h-=.s onde g — fzz — q, h — / = — r , /i —g ■ZZ — s , il coefficien- 

 te sarà q — q -^ f — r -h s — s zzo . 



3.° Quello del terzo termine risulterà dal prodotto delle radici a 

 due a due , e sarà <7( — q -i- r — r-4-j— 5) — q Qr — r -^- s — s } -»- 

 r(— r-t-5 — j)— r(j — j) — 5^=:— (/^— r* — 5**. 



4." Il quarto avrà per coefficiente il prodotto delle radici a tre 



a tre cioè '/ ( — ijf ~>" y — qs -i- qs — r"^ •+■ rs — rs rs "-^ rs — ■s'^ ) — 



2 ( — r'ì ■+- rs — rs — rs -i- rs — s^ ') -^ r (^ — rs -i- rs — s'^ ^ -^ rs^ ZZ o . 



5.* Per coefficiente del quinto avremo q Cl'''^ — qrs -^ qrs -^ qrs — 

 qrs-^qs'^ — r^s -\- r'^s — rs^ ■+■ rs'^ •) — q (^ — r'^s •*- r'^s — r'^s -*• rs'^ •+• r'^s'^ =: 

 5^r^ -4- ,7'i* ■+■ /--j* : ec. ec. 



Cosicché tutti i termini pari dell' equazione (Y) o tutte le poten- 

 ze impari di 1/ (i.'^) vanno a zero e i coefficienti degli altri termini 

 son formati dalla somma dei quadrati delle lor differenze, e dalle som- 

 me dei prodotti di questi quadrati a due a due , a tre a tre ec. 



Corollario. 



19. Se i coefficienti dell' equazione (Y) che non vanno a zero . 

 cioè gli alternativi cominciando dal terzo, si chiamino a,b, e ec. , 

 questa eqnazione sarà della forma 



y'in-i) — py,iin-,)-z -t- ^,^»(«_i )_4 — ec.rro. 

 onde fatto il numero pari n (n — i ) =: 0^71 ed ij"^ z=.u , ella si ridurrà 

 alla forma 



w" — aW"" ' ■+■ Im"'-- — ec. rr o (U) . 

 e resteranno per altro ignoti i coefficienti a, b,c ec. , giacché per 

 ipotesi (13) non si conoscono le radici f,.q, h ec. deil' equazione 

 primitiva (}i) per cui mezzo gli abbiamo ottenuti . 



Problema III; 



10 Supposta l'fqua-^ione (U) trovata qui sopra , determinar le somme 

 p' , p", p'" ec. delle sue radici ( f — g)'^-l- (f — h)''-4- ec. dei lor qua- 

 drati ( f — g )4 -t- ( f _ h )4 ^ ec. , dei loro cubi ( f _ g )6 -+- ( f — h )& -+- OC. 



1.° E' chiaro che (/-.^ )» -j- (/_ /7 )*-H ec. = (li) (-2 _ i ) (/ * H- 

 S -+-'^'-*-ec. ) — 2 ifg-^-fà -Hec.) =r («— i ) P" — aB Cy) = nP" — 



AP'(i3. 4.0) = nP ' — P^ (13. 2.°)r:nP"— iH-zip». 



a ai* 



