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Corollario 



24. Un'equazione [UJ di due, tre ec. radici esige la determina- 

 zione di due, tre ec. coefficienti a, b, e ec. e perciò anche di due, 

 tre ec. somme />'./>", />'" ec: ora la determinazione di p', p", p'" ec. 

 esige quella di P', P", P", P'v, Pv , pv.ec. [20]; dunque in generale 

 l'equazione [U] di m radici esigerà la determinazione di P'. P" ec, 

 fino a Pi="'', e di p', p" ec. fino a /?(«) . 



§. HI. 



idea del Metodo del Sig. De-La-Grange , e maniera 

 . .. ».. 'jU >, d' abbreviarne 1' operazioni . 



25. Quanto ho detto fin qui è spedito dal Sig. De-La-Grange in 

 pochi versi : ma si sentirà facilmente che in un Libro Elementare non 

 potrebbero aver luogo né quei suoi cenni né queste mie soluzioni . In- 

 tanto con ciò l'antico metodo Newtoniano è liberato dai suoi difetti: 

 poiché se è pur necessario di sostituir successivamente in luogo di x 

 una progressione aritmetica »f g, ia, 2^ , 3A, 4A ec. onde si abbian 

 dall' equazione dei risultati i cui segni contrarj scuoprano le radici 

 reali , non si dee con New^ton far sempre a = i , e sostituir sempre 

 la progressione ^r o, i , 2 , 3 ec. , ma dee darsi con De-La-Grange 

 un vario valore a a secondo la varietà dell' equazioni proposte : la 

 progressione o, i, 2, 3 ec. sarà buona, dice egli, solamente quando 

 le differenT^e dille radici non sieno minori dell' unità , o l' equav^ione non 

 possa avere che una sola radice reale e positiva: in ogn' altro caso la 

 progressione dovrà esser talmente diversa , che A sia sempre minore o 

 al più eguale alla più piccola differen-^a tra le radici . Quindi tutto il 

 &U0 studio si è rivolto alla ricerca o determinazione di A , e V Equa- 

 ^ion delle Differente è immaginata appunto per questo line . 



26. Ho detto se è pur necessaria una progressione , perchè io non 

 sono ben persuaso di questa necessità. Ma prima di andar più oltre 

 diasi un'occhiata al Metodo del Sig, De-La-Grange per concepirne 

 almeno lo spirito e il giro . Tralasciate pertanto le lunghe ricerche 

 sulle radici immaginarie e sulle Frazioni Continue, si segua la trac- 

 cia d*un suo esempio, applicando subito la Teoria all'equazione x^ 

 — 7x-+-7:=o che sembra trascelta apposta per far sentir l'insufficien- 

 za della ptogressione o, i, 2, 3 ec. Lifatti quest' equazione ha tre 

 radici reali incommensurabili , e intanto da quella progressione se ne 

 ha una sola, e l'altre due compariscono immaginarie. 



i." Paragono dunque la data x^ — jx -*- 7 = o alla primitiva [X] 

 considerata di sopra [13]. ed ho 0=13, Ar:o, B = — 7, C == — 7, 

 D = E = ec. = o . 



2.° Determino con ciò P", P" ec. [14^ fino a P"' [24], e viene P'=I4 , 

 P'" = — 31, P'v = 93, P' = — 245, P>"=833. 



3.° De- 



