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può avere tanti integrali compieci quante radici diverse ha V equa- 

 zione " ZZy , 



$. 6. Se si voglia integrare 1' equazione 



* ( «^ ) -t- P* ( «'^ ) -h R^ ( «"^ ) = Q . 



Supponghiamo « =^ , e cavando da questa equazione il valore di x da- 

 to per y si sostituisca nella proposta. Se s' indica per P',Q',R', 

 ciò che divengono P , Q , R per questa sostituzione avremo , sup- 

 ponendo a'^ZZ x^ -+- S'=:y-^ny, «",^= «^ 4- J^' = / -4- ,fy -h f y . la proa 



posta rappresentata dall' equazione 



Se la natura delle funzioni fy, iy è tale che abbia luogo quest'equa- 

 zione f y = f C / "*" fJ' !) i' equazione (a) si ridurrà a questa 



* Cy ) -♦- P'* Cy -*-»r ) + R'^ ( r ■+- ?/ -t- K^ H- fr ) ) = Q' 



Equazione di secondo ordine a differenze finite e variabili nella qua- 

 le Ay :z: ty ' Si vede adunque che acciò la proposta sia integrabile e 

 necessaria una equazione di condizione . Può essere che con qualche 

 altro metodo si arrivi a potere integrare la medesima equa/ione , o 

 determinare il valqre di ** che soddisfaccia ad essa senza bisogno 

 che esista equazione alcuna di condizione ; ma sin qui ciò non è in 

 potere degli Analisti. 



§. 7. L' equazione proposta al Paragrafo antecedente può ridarsi 

 «d una equazione di questa forma 



z, = «^ z, -t- a^ z, "•" r^ 



che è a differenze finite e variabili di secondo ordine. 



Per conseguirne 1' integrazione s* integri la proposta come se le 

 differenze finite fossero l'unità, cioè si prenda l'integrale di questa 

 equazione 



Z^ = «^ Z'' - ' -1- «;^ Z"" - ^ -H y^ 



Io ho il primo dimostrato in un opuscolo, che tratta dell'inte- 

 grazione delle equazioni a -differenze finite stampato nell'anao 1792., 

 che 1' integrale di una tale equazione è 



X Slog.m 

 Z zze ^ 



f 2:iog.(l'-i)r -riogC-^-mp 1\ 



