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5. Ridotto adesso di tanta semplicità e sicurezza il tarmine ge- 

 nerale della Sene propofta si fa molto agevole il modo d'intercalare 

 la medesima Serie , o d' invefiigare qualunque altro termine che 

 abbia per indice dei numeri diversi dagli interi politivi, come fra- 

 pianar j , irra'^ionaii :ì trascendenti , ed eziandio nèqativi . La diflìcokà 

 non consiiìe' più nella Sene, la cui ìndsle , naturai, e carattere or- 

 mal conoscendosi per mezzo . à&\ jer,mine generale , somminiftrano 

 sempre ed in ogni caso \\ termine particolare intermedio rappresen- 

 tato da infiniti fattori , ma si risolve unicaniente nell' Algebra , 

 dalla quale dipende (tutte le volte che riesca fattibile^ assegnare 

 queir Àrea , o Funzione , che sia equivalente al prodotto dèi sud- 

 detti fattori infiniti. Euler sopra di tutti promosse quefta bella 

 Teoria tanto nelle antiche e moderne Co/le-^ioni Actadcmithe per 

 mezzo delle Quadrature Q^^^ , quando nel 1. Volume deW Introduzione 

 all'Analisi deql' Infiniti (49) indipendentemente dal Calcolo delle Flus- 

 sioni . Apparirà dai due seguenti §§. quanta copia derivi di verità 

 geometriche ed analitiche da quefta sola speculazione , e quance 

 delle già note ne discendano felicemente , o si confermino a vicen- 

 da , e ricevano nuova luce . Giova però avanti di seguitar passo a 

 passo il metodo tenuto dall' Euler fermarsi a considerare come facil- 

 mente si manifefti anche al disattento osservatore la stretta corri- 

 spondenza che debbano aver col Circolo alcuni dei termini d^ inter- 

 calare nella Serie propofta . E difatto risalta subito agli occhi di 

 tutti che il numeratore sempre costante del termine generate, sempli- 

 ficato da me nella maniera spiegata al Num «., cioè i. 2.3. 4. 5. 6. 

 7. 8. 9 00, altro non sia che il prodotto della mera di cia- 

 scheduno degli infiniti/c^^or/ della radice quadra del numeratore della 

 Serie Wallisiana conosciutissima conducente alla Quadratura del Cir- 

 colo , la qual Serie fu la prima di quefta forma a vedersi negli 

 Scritti dei Matematici (50) . Se dunque accada che in alcuno dei va- 



lori 



(48^ Nel Tom. XI. dei vecchi Commentar} luogo citato dalla Nota (i)j ed in 

 oltre nei §§. IS- 16. a pag. 40. (i?e Fraclionibus continuis Observationes) dove ge- 

 neralizza le Serie di BrouncKer e "Wallis ; nei Commentar/ della R. Accademia di 

 Berlino per l'anno 1761. stampati del 1768. da pag. 8j. a 107. Remarques sur uà 

 beau rapport entre les Séries des Pu'ssances tant dire eli s que réciproques; nel Tom. HI. 

 delle Mélanges de Turin da pag. 156. a 178. della 2." numerazione Observationes 

 circa Integralid Formularum &c &c. 



(49) Gap IX. dal § 155. e pag. 117. in poi, e quindi Gap. X. e XI. 



(50) E' molto lusinghevole per U Toscana che le profonde speculazioni 

 del Wallis intorno alla quadratura del Circolo ( come egli stesso confessa 

 nella sua Lettera dedicatoria in data del 19. di Luglio 1655., che precede 

 r Opera summentovata nella Nota (43) ) nascessero dalla lettura dell' Opere 

 dell' immortale Torricelli Matematico del G. D. Ferdinando li. , stampate 

 del 1644. in Firenze. E non è meno onorevole a mio giudizio per Wallis che 



Carlo 



