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I n. Ben si scorge, che la differenziale seconda di fx si ottiene differen- 

 ziando la differenziale prima ■, la dilfeienziale terza si ottiene diflerenziaudo la 

 diflerenziale seconda; ecc. Conviene però notare, che l'incremento rfr, essen- 

 do slato ritenuto di grandezza costante, dev' essere come tale trattato nella 

 differenziazione. E pertanto, esprimendo per fxdx il valore di d {fx) (mentre 

 dalle regole della differenziazione si ricava che l' incremento dx della variabile 

 entra come fattore nell'incremento d{fx) della funzione), si avrà d- (fx) = 

 d (fx) X dx = f"x . dx . dx = fxdx''; e similmente d^ (fx) = f"'xdx\ ecc. 

 Donde si vede, che la potenza dell'incremento dx è espressa dall'ordine della 

 differenziale. E si riconosce quindi, che la differenziale seconda è una differen- 

 ziale di second' ordine (mentre contiene due fattori dx di priui'ordine), la dif- 

 ferenziale terza una differenziale di terz'ordine, ecc. 



Le funzioni f'x, f"x, /"'.r, ecc. diconsi il primo, secondo, terzo, ecc. 

 coefficiente differenziale. 



18. La teoria delle differenziazioni successive nel calcolo delle quantità 

 immediate è pertanto la stessa che nel calcolo infinitesimale*, sicché nello stes- 

 so modo vengono dedotte le formole di Maclauriu, e di Taylor ; come pure 

 gli sviluppi delle funzioni esponenziali e logaritmiche. 



FUSZIOKI TRIGONOMETRICHE. 



I 9. Supposto che un arco x diventi l'arco immediato x + dx, è chiaro 

 che al coseno dell'incremento dx non si potrà assegnare altro valore, che quel- 

 lo del raggio stesso ; mentre la sua differenza con quest'ultimo è appunto una 

 quantità differenziale. E poiché il coseno è al raggio come il seno alla tangen- 

 te così, se si scambiano tra loro i valori delle prime due linee, si potranno 

 scambiar anche i valori delle seconde. I quali ambedue si potranno pure scam- 

 biare con quello della lunghezza dell'arco, attesoché quest' ultimo è minore 

 della tangente, e maggiore del seno. 



Poste pertanto le equazioni fondamentah 



tang. dx = dx, 

 sen. dx =: dx, 

 COS. dx =: 1, 



si pa.ssa a trovare la differenziale di sen. a:,ch'è eguale a sen. (x^dx) — sen. x, 



