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sviluppando seii. {x + d:t) mediante la forinola tiigoiiomelrica, riducendo, e 

 valendosi, per sosliluire, delle equazioni fondamentali. 



Le differenziali delle altre linee trij^onometriche, e gli sviluppi che seguo- 

 no, si ottengono come nel calcolo infinitesimale. 



Tahgenti. 



20. Tangente ad una curva è una retta, la quale tocca quella curva in 

 UD punto solo, e in tal modo, che, sottoposta ad una inclinazione quanto si 

 voglia piccola, la incontra in un altro punto j e però diviene secante. 



Si consideri in una curva AB (Fig. 2) riferita all'asse AC, il punto M, l'ordi- 

 nata MP, l'incremento finito PQ dellascissa CP, l'ordinata QN, la parallela MR 

 all'asse, la secante MN, e la tangente MT. E chiaro che, al crescere dell'ascissa 

 CP, cresce in lunghezza l'arco corrispondente AM, e, dopo un incremento fi- 

 nito PQ, il punto N si è scostato da M d'un arco finito WN. di cui la corda 

 MN prolungata è una secante. La tangente trigonometrica dell' angolo INIVIR. 

 cioè dell 'angolo formato dalla secante con 1' asse delle ascisse, è espressa dal 



NR 



rapporto dell'incremento finito NR all'altro Ri\I, cioè dalla frazione , men- 



VV RM' 



tre si ha 



WR : NR :: I : tang. NiMR. 



E poi evidente che, quanto più N sarà vicino a M, e tanto più l'angolo NMR 

 formato dalla secante con l'asse si accosterà all'angolo TMH formato con l'asse 

 dalla tangente ; di modo che se N diverrà il punto inunediato di M, cioè cor- 

 risponderà all' ordinala immediata di PM, la secante da tal punto fornita for- 

 merà con l'asse un angolo che sarà pure immediato all' angolo TiNIR formato 

 con l'asse dalla tangente. In fatto, per la definizione della tangente, s'essa vie- 

 ne sottoposta ad un'inclinazione differenziale, incontra evidentemente la curva 

 in un punto eh' è immediatamente consecutivo a quello di contatto. Ma in tal 

 caso, tanto l' incremento finito NR dell'ordinata, come l'incremento finito 

 MR z= PQ dell'ascissa, divengono entrambi incrementi difTerenziali-, dunque 

 è il rapporto di questi incrementi differenziali che fornisce la tangente trigo- 

 nometrica dell'angolo immediato a quello formato dalla tangente alla curva con 

 l'asse delle ascisse. Quel rapporto abbiamo veduto poter essere espresso da 



