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una qiiuntilù fiuila. E come abbiamo pure veduto, che il valore d' una quanti- 

 tà finita si può scambiare con quello della sua immediata, cosi potremo rite- 

 nere che quel rapporto fornisca direttamente il valore della tangente trigono- 

 metrica dell'angolo formato dalla tangente alla curva con l'asse delle ascisse. 



2 1. Conviene qui notare, per esattezza, che il rapporto dell'incremento 

 diflerenziale dell'ordinala a quello dell'ascissa non è precisamente il primo coeffi- 

 ciente differenziale dell'ordinata, ma sibbene queslo coefficiente combinato con 

 quantità differenziali. Di fatto, aia yz=fx l'equazione alla curva; il valore com- 

 pleto della differenziale di [x si ottiene dalla formola di Taylor 



f{x+h) -fx = rx.-+ f"x. il + f'x . — U, + ecc. 

 r 1.2 1.2.3 



(ove l'x, /'«, f"'-"^; ecc. sono i successivi coefficienti differenziali, e h un in- 

 cremento finito), ponendo in luogo di h l'incremento differenziale dx; sicché 

 si ha 



dy = f'x . dx + f'x . -- -f- f'x . —, + ecc. 

 a 2.3 



donde 



dy rt t-ii dx ..w f/x'- 



-^ = fx + I X H / X . — ^ ecc. 



dx 2 2. . Ó 



Questo secondo membro esprime dunque il valore dell'angolo immediato a 

 quello formalo dalla tangente alla curva con l'asse. Qui poi aggiungiamo, che 

 il primo termine /"'as, cioè il primo coefficiente differenziale di y, esprime as- 

 solutamente la tangente trigonometrica dell' angolo preciso formato dalla tan- 

 gente alla curva con l'asse delle ascisse. Di fatto, la tangente trigonometrica 

 deir angolo immediato a queslo è eguale alla tangente trigonometrica di questo 

 appunto, più una quantità differenziale positiva o negativa. La prima non è 

 per certo funzione di dx-^ la seconda è funzione di dx, perchè diminuisce al 



diminuire di dx, e viceversa. Ma il valore f'x + f'x . — 1 + f"'x . -j. ecc. 



2 2.3 



della tangente trigonometrica dell' angolo immediato è appunto composto di 

 f X, che non è funzione di dx, e di una parte che lo è, è dunque necessario 

 conchiudere che /^'x è tangente trigonometrica del vero angolo formalo dalla tan- 

 gente con l'asse, e la parte rimanente è il valore della quantità diflerenziale di 



