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vrebbe pur concepirsi finita ; è forza dunque che tale diflerenza sia una quan- 

 tità difierenziale, sicché il contorno del poligono possa scambiarsi con la lun- 

 ghezza della curva. In conseguenza di ciò si rileva, che il valore della lunghez- 

 za assoluta d'una porzione di sviluppata è dato dalla differenza fra i raggi di 

 curvatura spettanti a'suoi capi estremi. 



Questi pochi cenni ci paiono sufficienti a mettere in grado di proseguire 

 con ulteriori deduzioni. 



Calcolo ihtegiule. 



32. Il processo del calcolo integrale, cioè l' investigazione della funzione da 

 cui deriva una data funzione differenziale, è puramente analitico, né differisce 

 nel calcolo delle quantità immediate da quello esposto nel calcolo degl'infini- 

 tesimi. 



Scendendo poi alle applicazioni geometriche, diventa opportuna una ra- 

 pida considerazione. 



Sia BC (Fig. 6) una curva, AP l'asse delle ascisse, MP un'ordinata, AP la sua 

 ascissa -, PQ un incremento finito attribuito a quest' ultima ; NR quello ridon- 

 dante nell'ordinata. E chiaro che l'area MPQN é l'incremento dell'area compresa 

 fra l'asse, la curva, l'ordinata MP, e un'altra ordinata precedente. Che se NQ di- 

 viene immediata a MP, in allora QP =: MR ha un valore differenziale (che 

 chiamiamo dx), e così pure NR (che chiamiamo df) ; sicché la superficie MRN, 

 sempre inferiore al rettangolo SMRN, diventa una differenziale più piccola di 

 dxdy, eh' è di second' ordine, mentre il rettangolo MPQR si riduce alla diffe- 

 renziale di prim'ordine ydx. 



Rispetto a quest'ultima, quella dunque vien trascurata; sicché (mante- 

 nute le solite notazioni) f ydx dà il valore della quadratura della curva proposta. 



33. Quanto alla rettificazione, é chiaro che l'ipotenusa MN, ridotta al valore 



differenziale k dx' -^ t/j-', e sottoposta all' integrazione, deve somministrare 

 il valore del contorno d'un poligono immediatamente inscritto alla curva; tale 

 cioè che tutti i lati sieno quantità differenziali. Ma la lunghezza di tal poligono 

 immediato abbiamo veduto potere scambiarsi con quella assoluta della curva 



alla quale è inscritto ( §. 3 i ), dunque J V dx- -j. dy dà il valore di que- 

 st' ultima lunghezza. 



Ragionando in altra guisa, si può ancora osservare, che la lunghezza del- 



