38 RENDICONTO ACCADEMICO 



V Autore che questa dimostrazione è in sostanza quel- 

 la di Landen . 



3.° Dalla formola (A) , fatte tutte le radici eguali alla 

 unità, e sostituito mano mano r.=.m-i^zz.m-2^=:m-3y:=i...j 



1 



r (1) (2) (r+l)-| 

 SI ricavano le somme j 1 -t-l-f-,..-+-I J, 



2 3 



r (1) (2) (r+l)-] r (1) (2) (r+l) "] 



donde, per induzione, si trae, che lo sviluppo 



[ 



m—r 



(1) (2) (r-Hl) -1 

 1 ^1^...4.1 



j ha tanti termini, quanto è il nu- 



mero delle combinazioni di m cose ad r ad r, ed è 

 eguale al numero medesimo . 



4.° Per questo ultimo teorema si determinano i ter- 

 mini generali de' numeri figurati de' varii ordini , e si 

 conchiudono molti altri teoremi , de' quali mi fermerò 

 ad esporre soltanto i principali . - La somma degli m 

 numeri figurati di un dato ordine è eguale al numero 

 jT^etimo ^jgj nunjgri figurali dell' ordine successivo. - 

 La somma de' prodotti .... 

 i-2.3...«4-2.3.4...(/j-l-i)-j-3.4.5...(n-fa)-}-....+7n...(M-l-n-i) 



,. m{m-^-\)..{m-\-n) - , „ 



eguaglia ; . - La somma deeh m numeri 



(nn-l) " 



figurati di un dato ordine n è eguale al (/j-j-j)^^'""' 

 numero figurato dell'ordine m: il quale teorema è do- 

 vuto a Fcrmat. - lì numero de' termini della poten- 

 za m^'""" di un polinomio, che abbia n termini, è 



(/w+l)(»24-2)...(OT-4-n— 1) ,, . . 



— r ^ - — — . - Una equazione completa 



