XVI USEFUL FORMULAS. 



d. Formulas involving two angles, 

 sin (u ± ^) = sin a cos ^ ± cos a sin yS, 

 cos (a ± yS) = cos tt cos /S ^ sin a sin (3. 



tan (a ± 0) := (tan a ± tan ^)/(i =F tan a tan )8), 



cot (a ± /3) = (cot a cot ^ T l)/(cOt a ± COt /3). 



sin a -]- sin ^ ^ 2 sin ^(a -[- /3) cos ^(a — /3), 

 sin u — sin ^ = 2 cos h(a -)- yS) sin J(a — ^). 



cos a -f- cos /8 = 2 cos ^-(a -|- (3) COS i(a — /3), 

 cos a — cos y8 ^ — 2 sin i(a -|- yS) sin i(a — /3). 



sin (a ± B) 

 tan a ± tan B = 75> 



'^ cos a cos p 



sin (13 ± a) 



cot a ± cot /? = ^ — ^^— ^ o- 



' sin a sin p 



2 sin a sin y8 = cos (a — f3) — cos (a -|- ^), 

 2 cos a COS /3 = cos (a — /?) -}- cos (a -|- f3), 

 2 sin a cos )8 = sin (" — /?) + sin (a -|- ;8)- 



sin a -I- sin j8 . , ,,. , . ^. 



-^ ^ • ,, = tan i(a + 0) cot J.-(a — ft), 



sin a — sm f3 2\ i f-/ -v r-/> 



cos a + cos (3 , / , ON w ON 



^ = — cot Ua -\- B) cot Ua — B). 



COS a — COS y8 "^ ' ^"^ ^^ '^^ 



e. Formulas involving multiple angles. 



sin 2 a = 2 sin a cos a, 



sin 3 a =:: 3 sin a cos"'^ a — sin^ a. 



cos 2 a = cos^ a — sin^ a =z I — 2 sin^ a = 2 cos'^ a— I, 

 cos 3 a = cos^ « — 3 sin^ a cos a. 



sin u I — COS a /i — COS a\i 



I -|- cos tt sin a \i ~h ^^^ "/ * 



COt^ a — I 



cot 2 a = > 



2 cot a 



I — tan^ ^ a 



• i -i—, — ' cos a = j — 7 — 5-1 



I + tan^ ^- tt I + tan^ h a 



2 sin^ a = I — cos 2 a, 2 cos^ a = i + cos 2 a, 



4 sin^ tt = 3 sin tt — sin 3 a, 4 cos^ a = 3 cos a -f- cos 3 a. 



f. Exponential values. Moivre's formula. 

 e= base of natural logarithms, 

 /■= V — I, «^= — i> ^^= — ^> ^^= ^' ^t<^- 

 cos x=z ^ (e''^ -\- e -'% sin x=ihif' — e~^\ 



cos /x =; ^ (^ -^ -j- ^), sin /a: = .jj (^ ~^ — e')- 



(cos .r ± z sin .r)'" == cos ;«.r ± / sin mx. 



